考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

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1f?(x)?4ex(x?2)?2x?4?4(x?2)(ex?). 2令f?(x)?0，得x??ln2或x??2. 从而当x?(??,?2)?(?ln2,??)时，f?(x)?0； 当x?(?2,?ln2)时，f?(x)?0； 故f(x)在(??,?2)，(?ln2,??)单调递增，在x?(?2,?ln2)单调递减. 当x??2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(?2)?4(1?e?2)

?x2?2x?a,x?0,36.（2013·四川高考理科·Ｔ21）已知函数f(x)??其中a是实

?lnx,x?0,数．设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点，且x1?x2． （Ⅰ）指出函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直，且x2?0，求x2?x1的最小值；

（Ⅲ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合，求a的取值范围． 【解题指南】在求解过程中，首先需要把握函数的解析式及定义域，结合各段函数的特征确定其单调区间，在后续的求解过程中，需要首先求解函数

f(x)的图象在点A,B处的切线的斜率，结合已知求解x2?x1的最小值，在第

（Ⅲ）问中，应着重分析函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合得到的信息. 【解析】(Ⅰ)函数f(x)的单调递减区间为(??,?1), 单调递增区间为(?1,0),(0,+?).

(Ⅱ)由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为f ?(x1),点B处的切线斜率为f ?(x2),

所以当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有f ?(x1)f ?(x2)=?1. 当x<0时,f ?(x)=2x+2

因为x10.

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1

因此x2?x1=[?(2x1+2)+ 2x2+2]?[?(2x1+2)](2x2+2)=1,

231

当且仅当?(2x1+2)= 2x2+2=1即x1=?,x2=?时等号成立.

22

所以,函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,求x2?x1的最小值为1.

(Ⅲ)当x1x1>0时, f ?(x1)?f ?(x2), 所以x1<0

当x1<0时,函数f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为

y?(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x?x1),

即y=(2x1+2)x?x12+a.

当x2>0时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为y?lnx2=1

(x?x2),即y=x+lnx2?1.

1

x2

x2

?2x+2=1 ①

x两切线重合的充要条件是?

??x+a =lnx?1 ②

1

2

21

2

由①及x1<0

1

由①②得a= x1+ln?1=x12?ln(2x1+2)?1.

2x1+2

2

令h(x1)=x12?ln(2x1+2)?1(?1

1

则h?(x1)=2x1?<0, 所以 h(x1)在(?1,0)上是减函数.

x1+1则h(x1)>h(0)=?ln2?1, 所以a>?ln2?1,

又当x1?(?1,0)且趋近于?1时, h(x1)无限增大, 所以a的取值范围是(?ln2?1,+?).

故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,a的取值范围是(?ln

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2?1,+?).

?x2?2x?a,x?037.（2013·四川高考文科·Ｔ21） 已知函数f(x)??，其中a是

lnx,x?0?实数。设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点，且x1?x2. （Ⅰ）指出函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直，且x2?0，证明： x2?x1?1；（Ⅲ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合，求a的取值范围。 【解题指南】在求解过程中，首先需要把握函数的解析式及定义域，结合各段函数的特征确定其单调区间，在后续的求解过程中，需要首先求解函数

f(x)的图象在点A,B处的切线的斜率，结合已知证明，在第（Ⅲ）问中，应

着重分析函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合得到的信息.

【解析】(Ⅰ)函数f(x)的单调递减区间为(??,?1), 单调递增区间为(?1,0),(0,+?).

(Ⅱ)由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为f ?(x1),点B处的切线斜率为f ?(x2),

故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有f ?(x1)f ?(x2)=?1. 当x<0时,对函数f(x)求导，得f ?(x)=2x+2 因为x10.

1

因此x2?x1=[?(2x1+2)+ 2x2+2]?[?(2x1+2)](2x2+2)=1,

231

当且仅当?(2x1+2)= 2x2+2=1，即x1=?且x2=?时等号成立.

22所以,函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时, 有x2?x1?1. (Ⅲ) 当x1x1>0时, f ?(x1)?f ?(x2), 故x1<0

当x1<0时,函数f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为

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y?(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x?x1),

即y=(2x1+2)x?x12+a.

当x2>0时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为y?lnx2=(x?x2),即y=x+lnx2?1.

1

1

x2

x2

?2x+2=1 ①

x两切线重合的充要条件是?

??x+a =lnx?1 ②

1

2

21

2

由①及x1<0

x2

?1??1?-1 由①②得,a=lnx2+??2x2?211?1?2=-ln+??2?-1.

x24x?2?令t=,则0

1

x2

14设h(t)=t2-t-lnt(0

11(t?1)2?3则h'(t)=t-1-=<0,

2t2t14所以h(t)(0h(2)=-ln2-1, 所以a>-ln2-1.

而当t∈(0,2)且t趋近于0时,h(t)无限增大. 所以a的取值范围是(-ln2-1,+∞).

故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(-ln2-1,+∞).