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1f?(x)?4ex(x?2)?2x?4?4(x?2)(ex?). 2令f?(x)?0，得x??ln2或x??2. 从而当x?(??,?2)?(?ln2,??)时，f?(x)?0； 当x?(?2,?ln2)时，f?(x)?0； 故f(x)在(??,?2)，(?ln2,??)单调递增，在x?(?2,?ln2)单调递减. 当x??2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(?2)?4(1?e?2)
?x2?2x?a,x?0,36.（2013·四川高考理科·Ｔ21）已知函数f(x)??其中a是实
?lnx,x?0,数．设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点，且x1?x2． （Ⅰ）指出函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直，且x2?0，求x2?x1的最小值；
（Ⅲ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合，求a的取值范围． 【解题指南】在求解过程中，首先需要把握函数的解析式及定义域，结合各段函数的特征确定其单调区间，在后续的求解过程中，需要首先求解函数
f(x)的图象在点A,B处的切线的斜率，结合已知求解x2?x1的最小值，在第
（Ⅲ）问中，应着重分析函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合得到的信息. 【解析】(Ⅰ)函数f(x)的单调递减区间为(??,?1), 单调递增区间为(?1,0),(0,+?).
(Ⅱ)由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为f ?(x1),点B处的切线斜率为f ?(x2),
所以当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有f ?(x1)f ?(x2)=?1. 当x<0时,f ?(x)=2x+2
因为x1
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因此x2?x1=[?(2x1+2)+ 2x2+2]?[?(2x1+2)](2x2+2)=1,
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当且仅当?(2x1+2)= 2x2+2=1即x1=?,x2=?时等号成立.
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所以,函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,求x2?x1的最小值为1.
(Ⅲ)当x1 当x1<0时,函数f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为 y?(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x?x1), 即y=(2x1+2)x?x12+a. 当x2>0时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为y?lnx2=1 (x?x2),即y=x+lnx2?1. 1 x2 x2 ?2x+2=1 ① x两切线重合的充要条件是? ??x+a =lnx?1 ② 1 2 21 2 由①及x1<0 1 由①②得a= x1+ln?1=x12?ln(2x1+2)?1. 2x1+2 2 令h(x1)=x12?ln(2x1+2)?1(?1 1 则h?(x1)=2x1?<0, 所以 h(x1)在(?1,0)上是减函数. x1+1则h(x1)>h(0)=?ln2?1, 所以a>?ln2?1, 又当x1?(?1,0)且趋近于?1时, h(x1)无限增大, 所以a的取值范围是(?ln2?1,+?). 故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,a的取值范围是(?ln 圆学子梦想 铸金字品牌 2?1,+?). ?x2?2x?a,x?037.（2013·四川高考文科·Ｔ21） 已知函数f(x)??，其中a是 lnx,x?0?实数。设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点，且x1?x2. （Ⅰ）指出函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直，且x2?0，证明： x2?x1?1；（Ⅲ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合，求a的取值范围。 【解题指南】在求解过程中，首先需要把握函数的解析式及定义域，结合各段函数的特征确定其单调区间，在后续的求解过程中，需要首先求解函数 f(x)的图象在点A,B处的切线的斜率，结合已知证明，在第（Ⅲ）问中，应 着重分析函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合得到的信息. 【解析】(Ⅰ)函数f(x)的单调递减区间为(??,?1), 单调递增区间为(?1,0),(0,+?). (Ⅱ)由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为f ?(x1),点B处的切线斜率为f ?(x2), 故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有f ?(x1)f ?(x2)=?1. 当x<0时,对函数f(x)求导，得f ?(x)=2x+2 因为x1 1 因此x2?x1=[?(2x1+2)+ 2x2+2]?[?(2x1+2)](2x2+2)=1, 231 当且仅当?(2x1+2)= 2x2+2=1，即x1=?且x2=?时等号成立. 22所以,函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时, 有x2?x1?1. (Ⅲ) 当x1 当x1<0时,函数f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为 圆学子梦想 铸金字品牌 y?(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x?x1), 即y=(2x1+2)x?x12+a. 当x2>0时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为y?lnx2=(x?x2),即y=x+lnx2?1. 1 1 x2 x2 ?2x+2=1 ① x两切线重合的充要条件是? ??x+a =lnx?1 ② 1 2 21 2 由①及x1<0 x2 ?1??1?-1 由①②得,a=lnx2+??2x2?211?1?2=-ln+??2?-1. x24x?2?令t=,则0 1 x2 14设h(t)=t2-t-lnt(0 11(t?1)2?3则h'(t)=t-1-=<0, 2t2t14所以h(t)(0 而当t∈(0,2)且t趋近于0时,h(t)无限增大. 所以a的取值范围是(-ln2-1,+∞). 故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(-ln2-1,+∞). 搜索更多关于： 考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 的文档
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