考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

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记h(x)?(1?x)e?x?(1?x)ex

则h?(x)?[(1?x)e?x?(1?x)ex]?x(ex?e?x) 当x??0,1?时，h?(x)?x(ex?e?x)?0

因此h(x)?(1?x)e?x?(1?xe)x在?0,1?上为增函数， 故h(x)?h(0)?0

所以(1?x)e?2x?1?x，x??0,1?； ⑵要证x??0,1?时，(1?x)e?2x?只需证ex?1?x 记k(x)?ex?x?1 则k?(x)?ex?1

当x??0,1?时，k?(x)?ex?1?0

因此k(x)?ex?x?1在?0,1?上为增函数， 故k(x)?k(0)?0 所以(1?x)e?2x?1，x??0,1? 1?x1，x??0,1? 1?x1 1?x综上可知， 1?x?(1?x)e?2x?即1?x?f(x)?1 1?x(??)由(?)知1?x?f(x)，则有

f(x)?g(x)?(1?x)e?2xx3?(ax??1?2xcosx)

2x3?1?x?(ax??1?2xcosx)

2??x(a?1?1212x?2cosx) 2设G(x)?x2?2cosx，则G?(x)?x?2sinx 记H(x)?x?2sinx，则H?(x)?1?2cosx

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(?)?12cosx? 0当x??0,1?时，cosx?cos1?cos??H?x3?12从而G?(x)?x?2sinx在?0,1?上为减函数， 于是当x??0,1?时，G?(x)?G?(0)?0 故G(x)?x2?2cosx在?0,1?上为减函数， 所以G(x)?G(0)?2

从而G(x)?a?1?G(0)?a?1?2?a?1?3?a 所以a??3时，f(x)?g(x)在?0,1?上恒成立

下面证明当a??3时，f(x)?g(x)在?0,1?上不恒成立。 由(?)知f(x)?1，则有 1?x121x3f(x)?g(x)??(ax??1?2xcosx)

1?x21x2??x(?a??2cosx)

1?x21x21记I(x)??a??2cosx??a?G(x)

1?x21?x则I?(x)??1?G?(x) 2(1?x)?1?G?(x)?0 2(1?x)由前所述，当x??0,1?时，I?(x)?故I(x)?1?a?G(x)在?0,1?上为减函数， 1?x于是I(1)?I(x)?I(0) 即a?1?2cos1?I(x)?a?3 因为当a??3时，a?3?0 所以存在x0?(0,1),使得I(x)?0 此时f(x0)?g(x0)

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即当a??3时，f(x)?g(x)在?0,1?上不恒成立。 综上，实数a的取值范围为???,?3?.

34.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ21）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2 （Ⅰ）求a，b，c，d的值

（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kgf(x)，求k的取值范围。

【解题指南】（Ⅰ）根据曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)可将P(0，2)分别代入到y＝f(x)和曲线y＝g(x)上，再利用在点P处有相同的切线y＝4x+2，对曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)进行求导，列出关于a,b,c,d的方程组求解.

（Ⅱ）构造函数F(x)?kg(x)?f(x)，然后求导，判断函数F(x)?kg(x)?f(x)的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.

【解析】（Ⅰ）由已知得f(0)?2，g(0)?2，f?(0)?4，g?(0)?4. 而f?(x)?2x?a，g?(x)?ex(cx?d?c). 故b?2，d?2，a?4，d?c?4. 从而a?4，b?2，c?2，d?2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?x2?4x?2，g(x)?2ex(x?1). 设F(x)?kg(x)?f(x)?2kex(x?1)?x2?4x?2， 则F?(x)?2kex(x?2)?2x?4?2(x?2)(kex?1). 由题设可得F(0)?0，得k?1.

令F?(x)?0，即2(x?2)(kex?1)?0，得x1??lnk，x2??2.

（ⅰ）若?1?k?e2，则?2?x1?0，从而当x?(?2,x1)时，F?(x)?0

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当x?(x1,??)时，F?(x)?0，

即F(x)在x?(?2,x1)单调递减，在x?(x1,??)单调递增，故F(x)在[?2,??)上有最小值为F(x1).

F(x1)?2x1?2?x1?4x1?2??x1(x1?2)?0.

2故当x??2时，F(x)?0恒成立，即f(x)?kg(x).

（ⅱ）若当k?e2，则F?(x)?2e2(x?2)(ex?e?2)，当x??2时，F?(x)?0，即F(x)在

(?2,??)上单调递增，而F(?2)?0,故当且仅当x??2时，F(x)?0恒成立，即f(x)?kg(x).

（ⅲ）若k?e2，则F(?2)??2ke?2?2??2e?2(k?e2)?0. 从而当x??2时，f(x)?kg(x)不可能恒成立. 综上，k的取值范围为[1,e2].

35.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ20）已知函数f(x)?ex(ax?b)?x2?4x，曲线y?f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y?4x?4 （Ⅰ）求a，b的值

（Ⅱ）讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值

【解题指南】（Ⅰ）对函数f(x)?ex(ax?b)?x2?4x求导，利用点(0,f(0))处切线方程为y?4x?4知f?(0)?4，求得a，b的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）确定函数解析式，并对f(x)求导，根据导函数f?(x)判断函数的单调性，根据函数的单调性求出极值.

【解析】（Ⅰ）f?(x)?ex(ax?a?b)?2x?4.由已知得f(0)?4，f?(0)?4. 故b?4，a?b?8，从而a?4，b?4

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)?4ex(x?1)?x2?4x，