惠州市2013届高三第二次调研考试数学(理科)

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在Rt?DFG中, tan?DGF?DF13. ?GF313. …… 14分 3∴二面角C?BC1?D的正切值为解法2: ∵AB?BC,AB?BB1,BCBB1?B,BC?平面BB1C1C， BB1?平面BB1C1C，

zA1A ∴AB?平面BB1C1C. …… 10分

以点B1为坐标原点,分别以B1C1,B1B,B1A1所在直线为x轴, y轴和z轴,建立空间直角坐标系B1?xyz.

D3 则B(0,2,0),C1(3,0,0),A(0,2,2),D(,2,1).

23 ∴BC1?(3,?2,0),BD?(,0,1)

2 设平面BC1D的法向量为n?(x,y,z),

C1xB1ByOC?3x?2y?0? 由n?BC1?0及n?BD?0,得?3

x?z?0??2 令x?2,得y?3,z??3.

故平面BC1D的一个法向量为n?(2,3,?3), …… 11分 又平面BC1C的一个法向量为AB?(0,0,?2), ∴cos?n,AB??n?AB2?0?0?3?(?2)?(?3)3. …… 12分 ?2?2222nAB ∴sin?n,AB??1?(3213. …… 13分 )?2222 ∴tan?n,AB??13. 3知识改变命运

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∴二面角C?BC1?D的正切值为19．（本小题满分14分）

解：设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)

13. …… 14分 3（1）由AM??BM知M是AB的中点， ………………1分

?x?y?1?0? 由?x2y2 得：(a2?b2)x2?2a2x?a2?a2b2?0…………………4分

?2?2?1b?a2a22b2 x1?x2?2，y1?y2??(x1?x2)?2?2…………5分 2a?ba?b2 a2b2?M点的坐标为(2,2) 22a?ba?ba22b2??0 又M点在直线上：?2…6分

a?b2a2?b2

?a2?2b2?2(a2?c2) ?a2?2c2

?e?c2……7分 ?a2

（2）由（1）知b?c，不妨设椭圆的一个焦点坐标为F(b,0)， 设F(b,0)关于直线 l:y?1x的对称点为(x0,y0)，………………8分 2?y0?013???1x?b0??x?b2??05则有?解得：?……………11分

?y?4b?x0?b?2?y0?00??5 ??223242222由已知x0?y0?1， (b)?(b)?1， ?b?1. ………13分

55x2?y2?1所求的椭圆的方程为……………14分 2

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20．（本小题满分14分）

（1）证明：当n?1时，a1?S1?(m?1)?ma1，解得a1?1．…………………1分 当n?2时，an?Sn?Sn?1?man?1?man．即(1?m)an?man?1．…………………2分 又m为常数，且m?0，∴

anm?(n?2)．………………………3分 an?11?mm的等比数列．……………………4分 1?m∴数列{an}是首项为1，公比为

（2）解：b1?2a1?2． ………………………5分 ∵bn?bn?11111，∴??1，即??1(n?2)．………………7分

bnbn?1bnbn?11?bn?1∴??1?1是首项为，公差为1的等差数列．………………………………………8分 ?2b?n?2112n?1，即bn???(n?1)?1?2n?1bn22(n?N?)．……………………………9分

∴

22n?1（3）解：由（2）知bn?，则?2n(2n?1)．

2n?1bn222324所以Tn????b1b2b32n2n?1， …10分 ??bn?1bn即Tn?21?1?22?3?23?5?则2Tn?22?1?23?3?24?5??2n?1?(2n?3)?2n?(2n?1)， ① ……11分 ?2n?(2n?3)?2n?1?(2n?1)， ②………12分

?2n?1，……………………13分

②－①得Tn?2n?1?(2n?1)?2?23?24?故Tn?2n?123(1?2n?1)?(2n?1)?2??2n?1?(2n?3)?6．……………………14分

1?221．（本小题满分14分）

解：（1）f(x)是奇函数，所以f(?x)??f(x)，即

a(?x)?(?x)ln|?x?b|??(ax?xln|x?b|) ……1分，

所以ln|?x?b|?ln|x?b|，从而b?0 ……2分，

/此时f(x)?ax?xln|x|，f(x)?a?1?ln|x| ……3分，

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依题意f/(e)?a?2?3，所以a?1 ……4分

（2）当x?1时，设g(x)?则g(x)?/f(x)x?xlnx?， x?1x?1x?2?lnx ……5分

(x?1)2/设h(x)?x?2?lnx，则h(x)?1?1?0，h(x)在(1 , ??)上是增函数 x因为h(3)?1?ln3?0，h(4)?2?ln4?0， 所以?x0?(3 , 4)，使h(x0)?0 ……7分

x?(1 , x0)时，h(x)?0，g/(x)?0，即g(x)在(1 , x0)上为减函数；

同理g(x)在(x0 , ??)上为增函数 从而g(x)的最小值为g(x0)?x0?x0lnx0?x0

x0?1所以k?x0?(3 , 4)，k的最大值为3 ……9分。

（3）要证(nmm)n?(mnn)m，即要证nlnn?mnlnm?mlnm?mnlnn……10分， 即证n(1?m)lnn?m(1?n)lnm，设?(x)?/nlnnmlnm ……11分， ?n?1m?1xlnx，x?1 ……12分， x?1则?(x)?x?1?lnx

(x?1)21?0，g(x)在(1 , ??0)上为增函数， x/设g(x)?x?1?lnx，则g(x)?1??x?1，g(x)?g(1)?1?1?ln1?0，

从而?(x)?0，?(x)在(1 , ??)上为增函数 因为m?n?1，所以?(n)??(m)，

mnnm/nlnnmlnm?， n?1m?1所以(nm)?(mn) ……14分 薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。

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