惠州市2013届高三第二次调研考试数学(理科)

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数 学 (理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式：锥体的体积公式V?1Sh,其中S是锥体的底面积，h为锥体的高． 3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 已知复数z?i(1?i) (i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2．集合M??4,5,?3m?,N???9，3?，若M?N??，则实数m的值为（ ） A．3或?1 B．3 C．3或?3 D．?1 3. 等差数列?an?的前n项和为Sn，且S3?6，a1?4，则公差d等于（ ）

5 C.?2 D. 3 3?4. 已知向量a??cosa,?2?,b??sina,1?，且a//b，则tan(a?)等于（ ）

411A．3 B．?3 C． D． ?

33A．1 B.

ab5. “2?2”是“log2a?log2b”的（ ）

A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D. 必要不充分条件

x2y2??1的右焦点重合，则p的值为（ ） 6．若抛物线y?2px的焦点与椭圆622知识改变命运

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A．－2

B．2

C．－4

D．4

7．某工厂从2004年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量y与时间t的函数图像可能是（ ） y 4y 4y 4y 4o 8 t o 8 t o 8CABD8．已知函数f(x)?ex?1,g(x)??x2?4x?3，若有f(a)?g(b)，则b的取值范围为（ ）

A．2?2,2?2 B．?2?2,2?2? C．?1,3? D．?1,3?

t o 8 t ????二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．函数f(x)?1?2log6x的定义域为 ．

2??10. ?x2??的展开式中的常数项为 ．

x??11．已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、

是3开始输入xf(x)>g(x)否CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦

值为________．

h(x)=f(x)h(x)=g(x)输出h(x)12.如图所示的算法流程图中, 若f(x)?2x,g(x)?x2则

结束h(3)的值等于 . ?x?y?2，?13．已知变量x，y满足约束条件?x?y?2，若目标函数z?y?ax仅在点?5,3?处取得最小值,

?0?y?3，?则实数a的取值范围为 ．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。 14．（坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐

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标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为???4(??R)，它与曲线

C?x?1?2cosa（a为参数）相交于两点A和B，则AB=_______. ?y?2?2sina?15.（几何证明选讲选做题）如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线

ABODABC，已知AD?23，AC?6，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距离

为 ．

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本小题满分12分）

已知向量m??sinA,cosA?,n?（1）求角A的大小；

（2）求函数f(x)?cos2x?4cosAsinx(x?R)的值域. 17．（本题满分12分）

某商场准备在节日期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动。 （1）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；

（2）商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高180元，同时允许

顾客每购买1件促销商品有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金100元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。

18.（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABC?A1?底面ABC,AB?BC，D为AC的中点, 1B1C1中，侧棱AAA1A?3,?1,且m?n?1，A为锐角.

?AA1?AB?2.

(1) 求证：AB1//平面BC1D； (2) 若四棱锥B?AAC11D的体积为3,

B1DBC 知识改变命运

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求二面角C?BC1?D的正切值. 19．（本小题满分14分）

x2y2已知直线x?y?1?0与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于A、B两点，M是线段AB上

ab的一点，AM??BM，且点M在直线l:y?（1）求椭圆的离心率；

（2）若椭圆的焦点关于直线l 的对称点在单位圆x2?y2?1上，求椭圆的方程.

20．（本小题满分14分）

设Sn为数列?an?的前n项和，对任意的n?N?，都有Sn?(m?1)?man(m为正常数)． （1）求证：数列?an?是等比数列； （2）数列?bn?满足b1?2a1,bn?1x上. 2bn?1,(n?2,n?N?)，求数列?bn?的通项公式；

1?bn?1?2n?1?（3）在满足（2）的条件下，求数列??的前n项和Tn．

?bn?

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?ax?xlnx?b是奇函数，且图像在点(e,f(e)) 处的切线斜率为3 （e为自然对数的底数）． （1）求实数a、b的值； （2）若k?Z，且k?f(x)对任意x?1恒成立，求k的最大值； x?1（3）当m?n?1(m,n?Z)时，证明：nm

?mn???mnn?．

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