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高中竞赛必备资料

第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试

一、选择题

1、直线A x + B y + C = 0（A，B不全为零）的倾斜角是（ ）

?A，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –)

B2?B（B）A = 0时，倾斜角是，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –)

A2（A）B = 0时，倾斜角是

（C）A = 0时，倾斜角是0，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –（D）B = 0时，倾斜角是0，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –

B) AA) B2、数列{ a n }：a 1 = p，a n + 1 = q a n + r（p，q，r是常数），则r = 0是数列{ a n }成等比数列的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）不充分也不必要条件 3、f 是R ? R上的一一映射，函数y = f ( x )严格递增，方程x = f ( x )的解集为P，方程x = f [ f ( x )]的解集为Q，则（ ）

（A）P ? Q （B）P = Q （C）P ? Q （D）以上都不对

4、点( x，y )的坐标x，y都是有理数时，该点称为有理点，在半径为r，圆心为( a，b )的圆中，若a∈Q，b∈Q，则这个圆上的有理点的数目（ ）

（A）最多有一个 （B）最多有两个 （C）最多有三个 （D）可以有无穷多个

5、以某些整数为元素的集合P具有以下性质：（1）P中元素有正数也有负数；（2）P中元素有奇数也有偶数；（3）– 1? P；（4）若x，y∈P，则x + y∈P。对于集合P，可以断定（ ） （A）0∈P，2 ? P （B）0 ? P，2∈P （C）0∈P，2∈P （D）0 ? P，2 ? P 二、填空题

6、方程arcsin ( sin x ) =?6×xx的实根个数是 。 |x|7、使不等式| ( x – 1 ) ( x + 1 ) | + | ( x – 2 ) ( x + 2 ) | + | ( x – 3 ) ( x + 3 ) | < ( t – x ) ( t + x )的解集为空集的实数t形成一个集合，把这个集合用区间形式写出来，就是 。

8、椭圆的两个焦点是F1 ( 3 , – 6 )，F2 ( 6 , 3 )，一条切线为4 x = 3 y，这个椭圆的离心率是 。 9、设[ x ]表示不超过x的最大整数，则[1] + [2] + [3] + … + [1989?1990] +[ –1] + [ –2] + [ –3] + … + [ –1989?1990]的值是 。

答案：一、 A、B、A、B、A；二、6、1；7、[ – 23，23]；8、5；9、– 1989 2。 3简解：5、若x，y∈P，则x + y∈P ? 若x + y ? P，则x ? P或y ? P。显然1 ? P，若2 ∈P，则4，6，8，…，2 n ∈P，且– 1，– 3，– 5，…，– 2 m + 1 ? P，则存在– 2 n ∈P，且2 m + 1 ∈P，则– 2 ∈P，2 m – 1 = 2 m + 1 – 2∈P，…，1 ∈P，矛盾，故2 ? P。

t2?14t2?142

7、若x ≤ – 3或x ≥ 3，则4 x < t + 14，即x <，又x ≥ 9，只需≤ 9，t 2 ≤ 22即

44t2?4t2?42222

可；若– 3 < x ≤ – 2或2 ≤ x < 3，则2 x < t – 4，即x <，又4 ≤ x < 9，只需≤ 4，

222

2

2

t 2 ≤ 12即可；若– 2 < x ≤ – 1或1 ≤ x < 2，则t 2 > 12，只需t 2 ≤ 12即可；若– 1 < x < 1，则2 x 2 >

t2t22

14 – t ，即x > 7 –，又x < 1，只需7 –≥ 1，t 2 ≤ 12即可；∴ – 23≤ t ≤ 23。

222

2

8、进行坐标变换：??x?m?4.5?m?pcos??qsin?310，?，tan θ = 3，则F1 ( 3 , – 6 ) ?( –，

y?n?1.5n?psin??qcos?2??0 )，F2 ( 6 , 3 ) ?(三、解答题

192310910310，0 )，4 x = 3 y ?p – 3 q –= 0，c =| F1 F2 | =，a =。

2222210、数列{ arccot 2 n 2 }的前n项的和为S n，证明，对一切n∈N，都有S n <解：∵ arccot 2 n 2 = arccot ( 2 n – 1 ) – arccot ( 2 n + 1 )

?。 4∴ S n = arccot 2 + arccot 8 + … + arccot 2 n 2 = ( arccot 1 – arccot 3 ) + ( arccot 3 – arccot 5 ) +

… + [ arccot ( 2 n – 1 ) – arccot ( 2 n + 1 ) ] = arccot 1 – arccot ( 2 n + 1 ) < arccot 1 =

?。 411、用4块腰长为a，上、下底边长是a，2 a的等腰梯形硬纸片和两块平面多边形硬纸片可以围成一个六面体，求六面体的体积。

解：如图，围成的六面体为正四棱台，上、下底面积分别为S 1 =

DAECA1FB12a ，S 2 = 4 a ，高EF = CG =a，体积V =h ( S 1 + S 2

3212723

+S1S2) =×a × ( a 2 + 4 a 2 + 2 a 2 ) =a 。

3262

2

B1GC112、正方形PQRS的顶点Q，R，S分别在边长为2的正△ABC的边AB，BC，CA上滑动，求P点的轨迹方程。

D1第11题图第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试

1991年4月14日 上午8：30—10：30

一、选择题

1、映射f ：（a，b，c，d）?（1，2，3），如果10 < f ( a ) f ( b ) f ( c ) f ( d ) < 20，这样的映射共有（ ）

（A）23个 （B）24个 （C）25个 （D）26个

y2x22、曲线–= 1与曲线9 x 2 + 25 y 2 = 225的焦距相等的充要条件是（ ）

16?kk（A）k < 16且k ≠ 0 （B）k > 0且k ≠ 16 （C）0 < k < 16 （D）k < 0或k > 16 3、定义在全体实数上的函数f ( x )，满足：（1）f ( x 3 ) = f 3 ( x )；（2）对任意x 1 ≠ x 2，都有f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 )。则f ( – 1 ) + f ( 0 ) + f ( 1 )的值是（ ）

（A）0 （B）1 （C）– 1 （D）不能确定

4、正方体表面正方形的对角线所在直线中有两条直线的距离是1，则此正方体的体积是（ ） （A）1 （B）33 （C）1或33 （D）33或32 5、M = { ( x，y ) | x 3 + 8 y 3 + 6 x y ≥ 1，x，y∈R }，P = { ( x，y ) | x 2 + y 2 ≤ t 2，t∈R，t ≠ 0 }，若P∩M =?，则有（ ） （A）– 1 < t < 1 （B）–113355< t < （C）–< t < （D）–< t <

2244556、函数f ( x ) = arcsin ( cos x ) + arccos ( sin x )的值域是（ ） （A）[ –

?3?3??，] （B）[ 0，] （C）[ –，π ] （D）[ 0，π ]

22227、把函数y = f – 1 ( x )的图象在坐标轴内以原点为旋转中心按逆时针方向旋转90?，得到（ ） （A）y = – f ( x ) （B）y = f ( – x ) （C）y = – f – 1 ( x ) （D）y = – f ( – x ) 8、过A ( p，0 )作抛物线y 2 + p 2 = 2 p x ( p > 0 )的与对称轴垂直的弦P1P2，O为原点，则∠P1OP2是（ ）

（A）直角 （B）钝角 （C）锐角 （D）不确定 9、设f ( x ) = arccos x + 2 arcsin x，则f – 1 ( x )是（ ） （A）sin x，x∈[ –

????，] （B）– sin x，x∈[ –，] 2222（C）cos x，x∈[ 0，π ] （D）– cos x，x∈[ 0，π ]

10、设x，y∈R，| x | < 1，| y | < 1，x y ≠ 0，记[ x ]表示不超过实数x的最大整数， 则不等式[ x + y ] ≤ [ x ] + [ y ]的解集区域图是（ ）

y1y1y11x?1y1O?1?11x?1OO?1O?11x?1?11x（A）二、填空题

（B）（C）（D）

11、集合M = { ( x，y ) | | x – 6 | + | y + 12 | = | x – 12 | + 2 | y + 3 | = 15，x，y∈R }中的元素的个数是 。

12、已知台体上、下底的面积分别为S1，S2，若与底面平行的平面把台体截成体积相等的两部分，则截面面积为 。 13、方程x 3 –

3236x 2 + 3 = 0的全部负根之和是 。

8118– 2 x y +x2x2?y2的最小值是 。

14、以实数x，y为自变量的函数u ( x，y ) = x 2 +

15、过圆x 2 + y 2 + 2 x – 6 y + 1 = 0与圆x 2 + y 2 – 6 x – 6 y + 17 = 0的交点的直线方程可表示为 。

16、{ x }表示不小于实数x的最小整数，则{ log 2 1 } + { log 2 2 }+ … + { log 2 1991 } = 。 17、函数y =

arcsinx的值域是 。

arccosx18、f ( x )对任意x 1，x 2∈R都有f ( x 1 – x 2 ) = f ( x 1 ) + f ( x 2 )，则它的奇偶性是 。 19、定义在正整数上且函数值总是自然数的严格增函数f ( n )，对任意m，n∈N*，当m，n的最大公约数是1时，f ( m n ) = f ( m ) × f ( n )。若f ( 180 ) = 180，则f ( 1991 ) = 。 20、正十二面体有20个顶点，30条棱，每一个顶点是3条棱的交点，这三条棱的另一个端点是正十二面体的另外3个顶点，我们称这3个顶点与前一个顶点是相邻的。在每个顶点处放上一个实数，要求每个顶点所放的实数恰是该顶点相邻的3个顶点处所放实数的算术平均值。设M，m分别是这20个实数中最大的和最小的，则M – m的取值范围是 。 答案：一、C、A、A、C、 、D、B、A、D、C；

3S13?S2326二、11、4；12、(；14、6；15、a ( x – 2 ) + b ( y – 3 ) = 0，（a，b∈R）；)；13、–

22316、9954；17、[ –

1，+ ∞ )；18、偶；19、1991；20、 。 2简解：1、（2，2，2，2）1个，（1，2，2，3）12个，（1，2，3，3）12个；6、f ( x ) =