2019-2020高中数学 2.2.1对数与对数运算（一）练习 新人教A版必修1

2019-2020高中数学 2.2.1对数与对数运算（一）练习 新人教

A版必修1

基础梳理

x1如果a＝N(a＞0，a≠1)，那么数 x叫做以a为底 N的对数．记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．对数式的书写格式：

例如：将指数式化为对数式： 22

①4＝16，________；②10＝100，____________； 1

－2

③42＝2，________； ④10＝0.01，____________.

(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数log10N简记为lg N； (2)以无理数e＝2.718 28…为底的对数，叫自然对数，并把自然对数logeN简记作ln N. 例如：lg 5 ，lg 3.5是常用对数；ln 10，ln 3是自然对数． 2．指数与对数的关系：设a＞0，且a≠1，则

ax＝N?logaN＝x.

对数式与指数式的互化如下表：

xlogaN＝x?a＝N 对数式?指数式 对数底数←a→幂底数 对数←x→指数 真数←N→幂数 3.对数的性质． (1)在指数式中N>0，故零和负数没有对数，即式子logaN中N必须大于零；

0

(2)设a＞0，a≠1，则有a＝1，∴loga1＝0，即1的对数为0；

1

(3)设a＞0，a≠1，则有a＝a，∴logaa＝1，即底数的对数为1. 4．对数恒等式．

b(1)如果把a＝N中的 b写成logaN，则有：alogaN＝N；

xx(2)如果把x＝logaN中的N 写成a，则有logaa＝ x., 基础梳理

1

1．①log416＝2 ②log10100＝2 ③log42＝ 2

④log100.01＝－2 思考应用

1．指数式与对数式如何互化？在此过程中，对于底数和真数要注意哪些限制条件呢？

x解析：a＝N?x＝logaN；底数a＞0且a≠1，真数N＞0. 2．对数的运算性质要注意哪些问题？

解析：①满足对数自身底数和真数的约束条件，如loga[(－5)×(－3)]有意义，但分开后写成loga(－5)＋loga(－3)就没有意义了；②注意符号的转化，容易出现以下错误：

MlogaMloga(M·N)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，loga＝等．

NlogaN3．若P＝N＞0两边取对数，有logaP＝logaN，这告诉我们若两个正数相等，其对应对数也相等，同样若logaM＝logaN，则有M＝N.那么根据这一知识，我们应该怎么来处理alogaN＝？的问题呢？

解析：我们令alogaN＝P，对等号两边同时取对数，有logaalogaN＝logaP，根据对数运算性质，得logaNlogaa＝logaP，即logaN＝logaP，由上面知P＝N，

即alogaN＝N.

自测自评

1．下列各式中正确的有____个．

1

①log416＝2；②log164＝；

2

③lg 100＝2；④lg 0.01＝－2.

N2．b＝a化为对数式是( ) A．logaN＝b B．logbN＝a C．logba＝N D．logab＝N

3

3．已知logx8＝，则x的值为____．

2

自测自评 1．4

N2．解析：logba＝N?b＝a.故选C. 答案：C 3．4

?基础达标

1

1．若x＝log27，则x等于( )

9

23A．－ B．－ 3223C. D. 32

112x3x－2

1．解析：由x＝log27得27＝，即3＝3，3x＝－2，∴x＝－.故选A.

993

答案：A

2．对数式loga－2(5－a)＝b中，实数a的取值范围是( ) A．(－∞，5) B．(2，5) C．(2，＋∞) D．(2，3)∪(3，5)

?5－a＞0，

?

2．解析：?a－2＞0，?2＜a＜3或3＜a＜5.

??a－2≠1

答案：D

3．若lg x＝0，则x＝____；若lg x＝1，则x＝____. 3．1 10

4．若ln x＝1，则x＝____；若ln(ln x)＝0，则x＝____. 4.e e

1－2x5．若log3＝0，则x＝____.

9

5.－4

6．求下列对数式中x 的值：

5

(1)log2x＝－；

33

(2)logx3＝－.

5

551

6．解析：(1)由log2x＝－得x＝2－，即x＝ .

333

32

335

(2)由logx3＝－得x－＝3，即x＝3－.

553

?巩固提高

7．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④

2

若e＝ln x，则x＝e.其中正确的是( )

A．①③ B．②④ C．①② D．③④

7．解析：lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，∴①②正确；由10＝lg x，x＝10e

10，∴③错；由e＝ln x，得x＝e，∴④错，故选C.

答案：C

2

8．若log2x2－1(3x＋2x－1)＝1，则x＝____.

22

8．解析：由条件得3x＋2x－1＝2x－1? x2＋2x＝0?x＝0或x＝－2，

2

当x＝0时， 2x－1＝－1＜0，舍去；

2

当x＝－2时，2x－1＝7，满足题意．所以x＝－2. 答案：－2

9．若log2[log3(log4x)]＝0，则x＝____.

9.解析：由条件得log3(log4x)＝1，∴log4x＝3，

3

∴x＝4，∴x＝64. 答案：64

10．求下列对数式的值： (1)log(2＋3)(2－3)；

34

(2)log5625.

10．解析：(1)令x＝log(2＋3)(2－3)，

x则(2＋3)＝(2－3)，

x－1

∴(2＋3)＝(2＋3)，

∴x＝－1，即log(2＋3)(2－3)＝－1. 3434x(2)令x＝log5625，则(5)＝625， 4344,

∴5x＝5∴x＝3，即log5625＝3. 3

1．根据需要可将指数式与对数式相互转化，从而实现化难为易，化繁为简． 2．进行化简求值变形时，必须紧扣对数的概念与对数的性质．