2005年第22届物理竞赛复赛+答案

1fB?kB?lB?lB0??kB?l?l0?

3但fA 、fB就是连接A、B的弹簧因拉伸而产生的弹力f，即有

fA?fB?f?k?l?l0?

由此得

3kA?k2kB?3k

（6）

相对地面，质心C是运动的，在t = 0 时刻，即细线刚烧断时刻，A位于Ox轴的原点O处，即xA?0??0；B的坐标xB?0??l．由（1）式，可知此时质心C的坐标为

2xC?0??l

3（7）

在细线烧断以后，作用于系统的外力是重力?m?2m?g．故质心以g为加速度做匀加速直线运动，任意时刻t，质心的坐标

xC(t)?xC(0)?1221gt?l?gt2 232（8）

由于质心作加速运动，质心系是非惯性系．在非惯性参考系中，应用牛顿第二定律研究物体的运动时，物体除受真实力作用外，还受惯性力作用．若在质心系中取一坐标轴O?x?，原点O?与质心C固连，取竖直向下为O?x?轴的正方向，当小球B在这参考系中的坐标为x?B时，弹簧CB作用于B的弹性力

fB??kB?x?B?lB0?

当x?B?lB0时，方向竖直向上．此外，B还受到重力mg，方向竖直向下；惯性力大小为mg，方向竖直向上．作用于B的合力

FB??kB?x?B?lB0??mg?mg

由（3）、（4）式得

?2mg??1??FB??kB?x?l????B?? 3k????令

（9）

1?2mg?XB?x???l?? B3?k?有

（10）

FB??kBXB

（11）

当XB = 0，作用于B的合力FB = 0，B处于平衡状态，由（10）式，可知在质心系中，B的平衡位置的坐标

2mg?1?x??l??? B03?k?（12）

XB为B离开其平衡位置的位移，（11）式表明，作用于B的合力具有弹性力的性质，故在FB作用下， B将在平衡位置附近作简谐振动，振动圆频率

?B?kB3k ?mB2m（13）

离开平衡位置的位移

XB?ABcos??Bt??B?

（14）

AB为振幅，?B为初相位．在t = 0时刻，即细线刚烧断时刻，B是静止的，故此时B离开其平衡位置x?B0的距离就是简谐振动的振幅AB，而在t = 0时刻，B离开质心的距离即（5）式给出的lB，故B离开平衡位置的距离即振幅

AB?lB?x?B0

由（5）式、（12）式得

2mg2mg11 AB?l?(l?)?33k3k因t = 0，XB =AB，且XB是正的，故

（15）

?B?0

由此得

XB??3k?2mg cos?t???3k2m??（16）

由（10）式，t时刻B在质心系中的坐标

?3k?2mg2mg1?? （17） ??x?t?(l?)?cosB?2mt?3k3k??在地面参考系的坐标

xB?t??xC?t??x?B?t?

得

（18）

2mg1xB?t??l?gt2?23k??3k??t??1?cos??2m??（19）

??????

同理，当小球A在质心系中的坐标为x?A时，注意到x?A是负的，这时，弹簧CA的伸长量为

x?A?lA0?x?A?2mg?22?l0?xA??l??， 33?k?当x?A?lA0为负时，弹力向下，为正，当x?A?lA0为正时，弹力向上，为负，故有

?2mg??2? fA??kA?x?l????A??3?k???作用于A的合力为

?2mg??2?FA??kA?x?l?????A3? k????令

XA?xA?有

2?2mg??l?? 3?k?FA??kAXA

当XA=0，作用于A的合力FB = 0，A处于平衡状态，A的平衡位置的坐标

2?2mg?xA0???l??

3?k?（20）

XA为A离开其平衡位置的位移，故在合力FA作用下， A将在平衡位置附近作简谐振动，振动圆频率

?A?kA3k? m2m（21）

离开平衡位置的位置

XA?AAcos??At??A?

AA为振幅，?A为初相位．在t = 0时刻，即细线刚烧断时刻，A是静止的，A离开质心C的距离为lA，A的平衡位置离开质心的距离为xA0故此时A离开平衡位置的距离即为振幅AA，

AA?lA?xA0?而此时XA??AA，故

22?2mg?4mgl??l? ??33?k?3k?A?π

由此得

XA???3k?4mg cos?t???3k2m??（22）

在时刻t，A在地面参考系中的坐标

xA?t??xC?t??xA0?XA?

212?2mg?4mg3kl?gt2??l?cost??323?k?3km(23)?3k??124mg??gt?t??1?cos????23k?2m?????

解法二：

当A球相对于地面参考系的坐标为x时，弹簧CA的伸长量为xC?2l0?x，A所受的合力为 3FA?mg?3?2?k?xC?l0?x? 2?3?其加速度为

aA?g?3?2?k?xC?l0?x? 2m?3?(1?)

其相对于质心的加速度为

a?A?aA?g?3?23??2???k?xC?l0?x???k?x??xC?l0?? 2m?32m??3???2??其中x??xC?l0?表示A球相对于其平衡位置的位移，在相互平动的两个参考系中，相对位移与参考

3??系无关．

上式表明，相对质心，A球的加速度与其相对于平衡位置的位移成正比且反向．也就是说，A球相对质心作简谐振动． 同理可证，

l??FB?2mg?3k?x?xC?0?

3??aB?g?l0??3k??x?x???? ?C2m??3??(2?)

其相对于质心的加速度为