数学学年论文毕业论文求极限的方法

limx?x0??f??(x)??f?lim?(x)?

?x?x0?1?cosx2例7：求lime2arcsinx的极限

x?0解：由于

1?coxslimx?01?coxs114?u?及函数在处连续，故??fu?e42arcsxi2n41?cosxlimx?0e2ar1lim22arcsinxcxsinx?0=e=e4。

2⒍利用洛比达法则求函数的极限

在前面的叙述中，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限，在此笔者叙述一种牵涉到无穷小（大）量的比较的求极限的方法。我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作

0?型或型的不定0?式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛比达法则。

下面就给出不定式极限的求法。 (1)对于

0型不定式极限，可根据以下定理来求出函数的极限 0定理4④：若函数f(x)和函数g(x)满足：

①limf(x)=limg(x)=0。

x?x0

x?x0

②在点x0的某空心邻域u0(x0)内两者都可导，且g'(x)?0 ③lim

x?x0

f'(x)=A。（A可为实数，也可为??或?） g'(x)则lim

x?x0

f(x)f'(x)=lim=A。 g(x)x?x0g'(x)注：此定理的证明可利用柯西中值定理，在此，笔者就不一一赘述了。 例8：求limx??1?cosx

tan2x解：容易检验

f(x)=1+cosx与g(x)=tan2x在x0??的邻域里满足定理的条件①和②，又因

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lim?x??sinxcos3x1f'(x)== -lim? 22tanxsecx22g'(x)limx??x??故由洛比达法则求得，

lim

x?x0

f(x)f'(x)1=lim= g(x)x?x0g'(x)20f'(x)仍是型的不定式极限，只要有可能，我们

0g'(x)在此类题目中，如果lim

x?x0

可再次利用洛比达法则，即考察极限lim

x?x0

f'(x)是否存在。当然，这是f'(x)和g'(x)g'(x)在x0的某邻域内必须满足上述定理的条件。

例9：求

limx?0e?(1?2x)

ln(1?x2)x12解：利用ln(1?x2)~x2 （x?0），则得 原式=limx?0e?(1?2x)e?(1?2x)=lim2xx2x?0x12x?12=limx?0e?(1?2x)2x?32?2?1 2在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，如下例， 例10：求limx?0?x1?ex

0解：这是型不定式极限，可直接运用洛比达法则求解，但是比较麻烦。如作适

0当的变换，计算上就会更方便些，故 令t?x,当x?0?时有t?0?，于是有

limx?0?x1?ex=limt?0?t1???1 t??e1?etlimt?0(2)

?型不定式极限 ?若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。 定理5⑤：若函数f(x)和函数g(x)满足：

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①limf(x)=limg(x)=?

x?x0?x?x0?②在点x0的某空心邻域u0?(x0)内两者都可导，且g'(x)?0 ③lim则limf'(x)=A，（A可为实数，也可为??或?）。 g'(x)f(x)f'(x)=lim=A。 g(x)x?x0?g'(x)x?x0?x?x0?此定理可用柯西中值定理来证明，在此，笔者就不一一赘述了。 例11：求limlnx xx???解：由定理4得，

lnx(lnx)'l???0 limlimlim'xx???x???(x)x???x注1：若lim

x?x0

f'(x)f(x)不存在，并不能说明lim不存在。 g'(x)x?x0g(x)注2：不能对任何比式极限都按洛比达法则来求解。首先必须注意它是不是不定式极限；其次是观察它是否满足洛比达法则的其它条件。

下面这个简单的极限 limx??x?sinx=1 x虽然是

?型的，但若不顾条件随便使用洛比达法则： ?limx??x?sinx1?cosx=lim就会因右式的极限不存在而推出原式的极限x1x??不存在这个错误的结论。 (3)其它类型不定式极限

不定式极限还有0??，1?，00，?0，???等类型。这些类型经过简单的变换，都可以化为例12：求lim

x?0?

0?型和型的不定式极限。 0?xlnx

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解：这是一个1?型的不定式极限，作恒等变形xlnx=

lnx?，将它转化为型的1?x不定式极限，并用洛比达法则得到

limx?0?xlnx=limx?0?1lnx=1limx?0?x1x=(?x)?0 ?1limx?0?x2例13：求lim(cosx)

x?0x2解：这是一个1?型的不定式极限，作恒等变形

112(cosx)=ex其指数部分的极限

x2lncosx

limx?010lncosx是型的不定式极限，可先求得

0x2limx?01?tanx1lncosx?== lim22x2xx?01从而得lim(cosx)=ex?0x2?12

例14: 求lim(sinx)x?0?k1?lnx（k为常数）

?型的极限， ?解：这是一个00型的不定式极限，按上例变形的方法，先求

klnsinx?lim1?lnxx?0?k1?lnxlimx?0?kcosxxsinx=kcosx?=k lim1sinxx?0?x=ek（k?0）

然后得到 lim(sinx)x?0?当k=0时上面的结果仍成立。 例15: 求lim(x?1?x)2x???1lnx

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