自动控制原理习题集（第三章）

第三章 控制系统时域分析

3-6b 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?s(Ks3?1)(s6?1)，若要求闭环特征

方程根的实部均小于－1，试问K应在什么范围取值？如果要求实部均小于－2，情况又如何？

解 系统的闭环传递函数GB(s)：

G(s)?s(Ks3?1)(s6?1)?K

B系统的闭环特征方程为

D(s)?s(?s3s3?1)(s6?1)?K?0

?9s2?18s?18K1） 要求Re(Si)<-1 求K取值范围，令 s=Z-1代入特征方程

(Z-1)?9(Z-1)?18(Z-1)?18K?032

显然，若新的特征方程的实部小于0，则特征方程的实部小于-1。 劳斯列阵：

Z?6Z?3Z?18K?10?0ZZZZ032321628?18K618K?10318K?10

要求Re(Si)<-1 根据劳斯判据，令劳斯列表的第一列为正数，则有

18K?10>0 ?28?18K6?0K?59

?K?K?149?149

所以要求Re(Si)<-1，59

2） 求Re(Si)<-2，令 s=Z-2代入特征方程

(Z-2)?9(Z-2)?18(Z-2)?18K?Z?3Z?6Z?18K?8?03232

劳斯列阵:

ZZZZ3213?18K?103?618K?8

018K?8?K?818，有2根在新虚轴－2的右边，即稳定裕度不到2。

3-11b 设控制系统的结构图如图3-15所示，其输入信号为单位斜坡函数（即r(t)=t）。 要求：(1)当?=0和Ks1?1时，计算系统的暂态性能（超调量?p和调

节时间t）以及稳态误差；（2）若要求系统的单位阶跃相应的超调量

?p％＝16.3，峰值时间t＝1s，求参数K和?的值。以及这时系统的

p1跟踪稳态误差；（3）若要求超调量?＝16.3％和当输入信号以1.5度/

p秒均匀变化时跟踪稳态误差e＝0.1度，系统参数K和?的值应如何

ss1调整？

图3-15

解： 由结构图可得，系统的开，闭环传递函数为

10K1Gk(s)?10K1s(s?1?10?)?s[1?10?s1?10?

?1]22?(s)?Gk(s)1?Gk(s)?10K1s?(1?10?)s?10K12??n2s?2??ns??n10K11?10? （3-8）

可见它时一个二阶规范系统，系统的开环增益为K＝Kv＝

（1）当K1=0和?=0（即局部反馈回路断开）时 由3-8式可得这时系统的闭环传递函数为

2

?1(s)??n1222s?2?1?n1s??n1

式中?n1?于是由二阶系统性能指标表达式，则10?3.16rad/s ?1?1/(2?n1)?0.16。

可求得系统的性能为

?p1?e???1/1??12?100%?60.1% ts1?3?n1?1?6s ess1?1Kv?110K1?0.1

（2） 当?p％＝16.3和tp＝1s时 由二阶规范系统的暂态性能指标表达式可得

???e???2/1??2?0.163ln(1/?p)?p????2?2 从而解得???[ln(1/????1?tp??2?1?????n2?3.628n22?2?0.5p)]2

而由（式3-8）得

10K1??n2?13.16 1?10??2?2?n2?3.628

2从而可得系统的参数为

K1＝1.316 τ＝0.263

系统跟踪单位斜坡输入信号的稳态误差为

esr2=1/ Kv=1/K=(1+10τ)/(10 K1)=0.28

（3） 当?p＝16.3％和esr＝0.1度时，由超调量?p＝16.3％可求得对应的阻尼比为ξ3=0.5，根据题意r(t)＝1.5t。于是由式3-8和应用误差系数法可得

?n3?10K12??1?10???n3?10K1??2?3?n3?1?10? ??1.5(1?10?)?K1esr3?1.5/Kv?1.5(1?10?)/(10K1)?0.1联立求解，则可求得这时参数的值为：K1 =22.5 τ=1.4

3-13b 系统如图3-18所示，其中扰动信号n(t)=1(t)。仅仅改变K1的值，能否使系统在扰动信号作用下的误差终值为-0.099?

N(s)R(s)E(s)K110(0.1s+1)(0.2s+1)(0.5s+1)C(s)图3-18

解：

E(s)N(s)??10(0.1s?1)(0.2s?1)(0.5s?1)?10K1若N(s)=1/s，则由终值定理知，若系统稳定，则稳态误差终值为

3

e?101ssn(∞)=limsE(s)?limss?0s?0(0.1s?1)(0.2s?1)(0.5s?1)?10K??10

1s1?10K1设essn(∞)=-0.099，可得K1=10。 系统的特征方程式是

s3+17s2+80s+100+1000K1=0

列劳斯表

s3 1 80

s2 17 100+1000K1

s1

1360?100?1000K117

s0 100+1000K1

系统稳定的条件是-0.1< K1<1.26。

当K1=10时，系统不稳定，可见仅改变K1值，不能使误差终值为-0.099。

1、设系统得单位阶跃响应为c?t??8?1?e?0.3t?，求系统得过渡过程时间 2、设系统得单位脉冲响应函数如下，试求这些系统的传递函数

c?t??asin?t?bcos?t，c?t??0.2?e?0.4t?e?0.1t?

3、

4