2019届高考数学二轮复习专题四三角函数、向量与解三角形第3讲正、余弦定理及其应用课时训练

。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第3讲 正、余弦定理及其应用

1. 在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，C＝120°，则AC＝________． 答案：1

x2＋9－13122

解析：设AC＝x，由余弦定理得cos 120°＝＝－，则x－4＝－3x?x＋3x6x2

－4＝0，解得x＝1或x＝－4(舍去)，所以AC＝1.

22

2. (2018·青岛模拟)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，

3

AB＝32，AD＝3，则BD的长为________．

答案：3

222

解析：因为sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，所以在△ABD中，有BD322222

＝AB＋AD－2AB·AD·cos∠BAD，所以BD＝18＋9－2×32×3×＝3，所以BD＝3.

3

3. 在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c＝________．

106答案：

3

ac10c解析：由A＋B＋C＝180°知，C＝45°，由正弦定理得＝，即＝，故sin Asin C32

2

2

106

. 3

4. 在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为答案：60°

1313

解析：(解法1)∵ S△ABC＝AB·AC·sin A＝，即×3×1×sin A＝，∴ sin A2222

＝1，∴ A＝90°，∴ C＝60°.

sin Bsin C1sin C(解法2)由正弦定理，得＝，即＝，∴ C＝60°或C＝120°.

ACAB23

当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝33

≠(舍去)； 42

3

，则C＝________． 2

c＝

3

，符合条件，故C＝60°. 2

13

5. 在△ABC中，若a＝7，b＝8，cos C＝，则最大内角的余弦值为________．

14

1

1

答案：－

7

a2＋c2－b2

解析：由余弦定理得c＝a＋b－2abcos C＝3，故最大内角为B，所以cos B＝

2ac2

2

1＝－.

7

6. 已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．

73答案：

3

2223＋5－71

解析：利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为＝－，所以此角的正2×3×52弦值为

3773

.设三角形外接圆的半径为R，由正弦定理得2R＝，所以R＝. 233

2

7. 在△ABC中，若9cos 2A－4cos 2B＝5，则＝________．

2答案： 3

2222

解析：由9cos 2A－4cos 2B＝5，得9(1－2sinA)－4(1－2sinB)＝5，即9sinA＝4sinB，BCsin A2所以＝＝.

ACsin B38. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝23absin C，则△ABC的形状是________．

答案：正三角形

222222222

解析：由a＋b＋c＝a＋b＋a＋b－2abcos C＝23absin C，得a＋b＝2absin(C＋πππππ22

)．由于2ab≤a＋b＝2absin(C＋)≤2ab，故只能a＝b且C＋＝，C＝，故△ABC66623为正三角形．

9. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bsin A＋3acos B＝0，ac＝43，则△ABC的面积为________．

答案：3

解析：由bsin A＋3acos B＝0及正弦定理得sin Bsin A＋3sin Acos B＝0.因为

113

sin A≠0，所以tan B＝－3，所以B＝120°，所以△ABC的面积为acsin B＝×43×

222

＝3.

10. (2018·苏州期中调研)设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若b＝acos C＋csin A且CD＝2，则△ABC面积的最大值是________．

答案：2＋1

解析：由b＝acos C＋csin A及正弦定理可得sin B＝sin Acos C＋sin Csin A，所以

π

sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin Csin A，化简可得sin A＝cos A，所以A＝.在△ACD中，

4

2

2

2

BCACc2c由余弦定理可得CD＝2＝b＋－2b··cos A≥bc－bc，当且仅当b＝时取“＝”，4222

2

2

c2

12

所以bc≤4＋22，所以△ABC面积S＝bcsin A＝bc≤2＋1，即△ABC面积的最大值是

242＋1.

11. (2018·启东调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角C为钝角，

2

316

sin A＝，tan(A－B)＝，b＝5.

563(1) 求sin B的值； (2) 求边c的长．

解：(1) 因为角C是钝角，所以角A是锐角．

3?3?242由sin A＝，得cos A＝1－sinA＝1－??＝，

5?5?5sin A3

所以tan A＝＝.

cos A4

tan A－tan（A－B）5

所以tan B＝tan[A－（A－B）]＝＝，

1＋tan Atan（A－B）12

sin B5??＝，π5所以?cos B12且0

??sin2B＋cos2B＝1，

12

(2) 由(1)得cos B＝，

13

56

在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，

65

bc56

由正弦定理＝得c＝.

sin Bsin C5

12. (2018·苏州期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 sin B2

＋sin C＝msin A(m∈R)，且a－4bc＝0.

5

(1) 当a＝2，m＝时，求b，c的值；

4

(2) 若角A为锐角，求m的取值范围．

2

解：由题意得b＋c＝ma，a－4bc＝0.

55

(1) 当a＝2，m＝时，b＋c＝，bc＝1，

42

b＝2，?1???b＝，解得?1或?2

c＝???2?c＝2.

(2)cos A＝

b＋c－a（b＋c）－2bc－a＝＝2bc2bc22222

（ma）－－a2

2

a2

2

a2

＝2m－3.

2

2322

因为A为锐角，所以cos A＝2m－3∈(0，1)，所以

2

由b＋c＝ma可得m>0,

6

所以

2

13. (2018·常州学业水平检测)已知△ABC中，a, b, c分别为三个内角A, B, C的对边，3bsin C＝ccos B＋c.

(1) 求角B的值；

112

(2) 若b＝ac，求＋的值．

tan Atan C解：(1) 由正弦定理得3sin Bsin C＝cos Bsin C＋sin C. 在△ABC中，sin C>0，

3

ππ?π?1

所以3sin B－cos B＝1，所以sin?B－?＝，B－＝，

6?266?

π

所以B＝.

322

(2) 因为b＝ac，由正弦定理得sinB＝sin Asin C， 11cos Acos Ccos Asin C＋sin Acos Csin（A＋C）

＋＝＋＝＝＝tan Atan Csin Asin Csin Asin Csin Asin Csin（π－B）sin sin Asin C＝Bsin Asin C，

所以1tan A＋1tan C＝sin B1sin2B＝sin B＝1233

＝3. 2

4