（贵阳专用）2019中考数学总复习 第二部分 热点专题解读 专题六 函数的综合探究针对训练

第二部分 专题六

1．如图，直线y＝－x＋2与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于A(a,3)，B(3，b)两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．

kx

(1)求a，b的值及反比例函数的解析式；

(2)若点P在直线y＝－x＋2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；

(3)在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．

解：(1)∵直线y＝－x＋2与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于A(a,3)，B(3，b)两点， ∴－a＋2＝3，－3＋2＝b，解得a＝－1，b＝－1， ∴A(－1,3)，B(3，－1)．

∵点A(－1,3)在反比例函数y＝图象上， ∴k＝－1×3＝－3，

3∴反比例函数的解析式为y＝－.

kxkxx(2)设点P(n，－n＋2)． ∵A(－1,3)，∴C(－1,0)． ∵B(3，－1)，∴D(3,0)．

11

∴S△ACP＝AC·|xP－xA|＝×3·|n＋1|，

22

S△BDP＝BD·|xB－xP|＝×1·|3－n|.

11

∵S△ACP＝S△BDP，∴×3·|n＋1|＝×1·|3－n|，

22解得n＝0或n＝－3，∴P(0,2)或(－3,5)． (3)存在．设M(m,0)(m＞0)，

∵A(－1,3)，B(3，－1)，∴MA＝(m＋1)＋9，MB＝(m－3)＋1，AB＝32， ∵△MAB是等腰三角形，∴①当MA＝MB时， ∴(m＋1)＋9＝(m－3)＋1，∴m＝0(舍)；

1

2

2

2

2

2

2

2

1

212

②当MA＝AB时，∴(m＋1)＋9＝32， ∴m＝－1＋23或m＝－1－23(舍)， ∴M(－1＋23，0)；

③当MB＝AB时，(m－3)＋1＝32， ∴m＝3＋31或m＝3－31(舍)， ∴M(3＋31，0)．

则满足条件的M(－1＋23，0)或(3＋31，0)．

2．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y＝3x－4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y＝也经过A点，连接BC．

2

2

kx

(1)求k的值；

(2)判断△ABC的形状，并求出它的面积；

(3)若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)如答图1，过点A分别作AQ⊥y轴于Q点，AN⊥x轴于N点．

答图1

∵△AOB是等腰直角三角形， ∴AQ＝AN.

设点A的坐标为(a，a)， ∵点A在直线y＝3x－4上， ∴a＝3a－4，解得a＝2， 则点A的坐标为(2,2)．

∵双曲线y＝也经过A点，∴k＝4. (2)由(1)知，A(2,2)，∴B(4,0)．

2

kx∵直线y＝3x－4与y轴的交点为C，∴C(0，－4)， ∴AB＋BC＝(4－2)＋2＋4＋(－4)＝40，

2

2

2

2

2

2

AC2＝22＋(2＋4)2＝40，∴AB2＋BC2＝AC2，△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴S△

ABC11

＝AB·BC＝×22×42＝8. 22

(3)存在．如答图2，假设双曲线上存在一点M，使得△PAM是等腰直角三角形．

答图2

∴∠PAM＝90°＝∠OAB，

AP＝AM，连接BM.∵k＝4，

4∴反比例函数的解析式为y＝.

x∵∠OAB＝∠PAM＝90°，∴∠OAP＝∠BAM.

OA＝BA，??

在△AOP和△ABM中，?∠OAP＝∠BAM，

??AP＝AM，

∴△AOP≌△ABM(ASA)， ∴∠AOP＝∠ABM，

∴∠OBM＝∠OBA＋∠ABM＝90°， ∴点M的横坐标为4，∴M(4,1)．

则在双曲线上存在一点M(4,1)，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰三角形． 3．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(－4,0)，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，点A与点B关于y轴对称．

mx

(1)求一次函数，反比例函数的解析式； (2)求证：点C为线段AP的中点；

(3)反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

解：(1)∵点A与点B关于y轴对称，∴AO＝BO.

3

∵A(－4,0)，∴B(4,0)． ∵PB⊥x轴于点B，∴P(4,2)．

把P(4,2)代入反比例函数解析式可得m＝8， 8

∴反比例函数的解析式为y＝.

x??0＝－4k＋b，

把A，P两点坐标分别代入一次函数解析式可得?

??2＝4k＋b，

1??k＝，

解得?4

??b＝1，

1

∴一次函数的解析式为y＝x＋1.

4

(2)证明：∵点A与点B关于y轴对称，∴OA＝OB． ∵PB⊥x轴于点B，∴∠PBA＝∠COA＝90°， ∴PB∥CO，∴点C为线段AP的中点． (3)存在点D，使四边形BCPD为菱形． 理由如下：

1

∵点C为线段AP的中点，∴BC＝AP＝PC，

2∴BC和PC是菱形的两条边． 1

由y＝x＋1可得C(0,1)．

4

如答图，过点C作CD∥x轴，交PB于点E，交反比例函数图象于点D，分别连接PD，

BD，

答图

∴D(8,1)，且PB⊥CD， ∴PE＝BE＝1，CE＝DE＝4，

∴PB与CD互相垂直平分，即四边形BCPD为菱形， ∴存在满足条件的点D，其坐标为(8,1)．

4．(2018·金华)如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝与y＝(x＞0,0＜m＜n)的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.

mxnx 4