2013年四川省绵阳市中考数学试题含答案

2013年中考真題

24．（本题满分12分）

如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。 （1）求二次函数的解析式和B的坐标； y （2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不

x 存在，请说明理由。

B D A O 解：（1）①二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C的坐

b

标为（0，-2），c = -2 , - = 0 , b=0 ,

C 2al 点A(-1,0)、点B是二次函数y=ax2-2 的图象与x轴

的交点，a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为y=2x2-2；

②点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称，点B的坐标为（1，0）； （2）∠BOC=∠PDB=90o，点P在直线x=m上，

设点P的坐标为（m,p）, OB=1， OC=2， DB= m-1 , DP=|p| ，

OBDP1|p|m-11- m

①当△BOC∽△PDB时，= ,= ,p= 或p = ,

OCDB2m-122m-11- m

点P的坐标为（m， ）或（m， ）；

22②当△BOC∽△BDP时，

OBDB1m-1

= ，= ，p=2m-2或p=2-2m, OCDP2|p|

点P的坐标为（m，2m-2）或（m，2-2m）；

m-11- m

综上所述点P的坐标为（m， ）、（m， ）、（m，2m-2）或（m，2-2m）；

22（3）不存在满足条件的点Q。

点Q在第一象限内的抛物线y=2x2-2上，

令点Q的坐标为（x, 2x2-2），x>1, 过点Q作QE⊥直线l , 垂足为E，△BPQ为等腰直角三角形，PB=PQ，∠PEQ=∠PDB， ∠EPQ=∠DBP，△PEQ≌△BDP，QE=PD，PE=BD，

m-1

① 当P的坐标为（m， ）时，

2m-1

m-x = ， m=0 m=1 2m-11

2x2-2- = m-1, x= x=1 22与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；

1- m

② 当P的坐标为（m， ）时，

2

2013年中考真題

m-12

x-m= m=- m=1 291- m52x2-2- = m-1, x=- x=1 26与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；

③ 当P的坐标为（m，2m-2）时，

9

m-x =2m-2 m= m=1 25

2x2-2-(2m-2) = m-1, x=- x=1 2与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件； ④当P的坐标为（m，2-2m）时，

5

x- m = 2m-2 m= m=1 187

2x2-2-(2-2m) = m-1 x=- x=1 6与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件； 综上所述，不存在满足条件的点Q。

2013年中考真題

25．（本题满分14分）

我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：

AO2?； （1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：

AD3（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；

（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试

S四边形BCGH

探究 的最大值。

S△AGH AA

OO

BCC BDD （图2）（图1）

解：（1）证明：如图1，连结CO并延长交AB于点P，连结PD。

∵点O是△ABC的重心， ∴P是AB的中点，D是BC的中点，PD是△ABC的中位线，AC=2PD， AC // PD，

∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO，

ODPD1ADOD+OA1+23

△OPD∽△CA， = = , = = = ,∴

AOAC2AOOA22AO2

= ； AD3

（2）点O是是△ABC的重心。

证明：如图2，作△ABC的中线CP，与 AB边交于点P，与△ABC的另一条中线AD交于点Q，则点Q是△ABC的重心，根据（1）中的证

AQ2

明可知 = ，

AD3AO2而 = ，点Q与点O重合（是同一个点），AD3所以点O是△ABC的重心；

（3）如图3，连结CO交AB于F，连结BO

AAO2?，试判断OAD3GOHCBD（图3）2013年中考真題

交AC于E，过点O分别作AB、AC的平行线OM、ON，分别 与AC、AB交于点M、N， ∵点O是△ABC的重心， OE1OF1∴ = ， = , BE3CF3OMOE11

∵ 在△ABE中，OM//AB， = = ，OM = AB，

ABBE33ONOF11

在△ACF中，ON//AC， = = ，ON = AC，

ACCF33OMOH

在△AGH中，OM//AH， = ，

AGGHONOG

在△ACH中，ON//AH， = ，

AHGH

11

ABAC33OMONOHOGABAC

∴ + = + =1， + =1, + = 3 , AGAHGHGHAGAHAGAHABAC

令 = m , = n , m=3-n, AGAH S四边形BCGHS△ABC-S△AGH∵ = ,

S△AGH S△AGH S四边形BCGHS△AGH

11

AB?AC?sin∠BAC- AG?AH?sin∠BAC22

1

AG?AH?sin∠BAC2=

AB?AC-AG?AH

AG?AH

=

AB?AC3 = -1= mn-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- )2

AG?AH25+ , 4

S四边形BCGHAC35

∴ 当 = n = ，GH//BC时， 有最大值 。

S△AGH AH24BGCHABAC

附： + =1 或 + =3 的另外两种证明方法的作图。

AGAHAGAH

方法一：分别过点B、C作AD的平行线BE、CF，分别交直线GH于点E、F。 方法二：分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线，垂足分别为E、F、N、M。

下面的图解也能说明问题：

2013年中考真題