2019届高考数学二轮复习 第一篇 专题三 三角函数与解三角形 第2讲 解三角形教案 文

B=sin A+sin C,cos B=,且S△ABC=6,则b等于( ) (A)2

(B)3

(C)4

(D)5

(2)(2018·超级全能生全国联考)已知△ABC中,AC=4①求角A和△ABC的面积;

2

②若CD为AB上的中线,求CD.

(1)解析:因为2sin B=sin A+sin C, 所以2b=a+c,

,BC=4,∠ABC=.

因为cos B=,

所以=,

即==-1=,

所以ac=b,

2

所以S△ABC=acsin B=×

2

b×=6,

2

所以b=16,所以b=4.故选C.

(2)解:①由=,得sin∠BAC=,

又BC

解得∠BAC=.

所以∠ACB=,

所以△ABC的面积

S=×4×4×sin=4(+1).

②设AB=x,

则在△ABC中,由余弦定理得32=x+16-8xcos, 即x-4x-16=0,

解得x=2+2(舍负), 所以BD=+.

在△BCD中,由余弦定理得

2

2

CD=BC+BD-2BC·BDcos=16-4

222

.

(1)正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程,据此解三角形的基本思路是根据公式和已知条件得出方程或者方程组,通过解方程或者方程组得出未知元素.(2)已知两个内角和一条边的三角形只能使用正弦定理、已知三边的三角形只能使用余弦定理(其中已知两边及其夹角的也可使用余弦定理),已知两边及一边的对角的既能使用正弦定理也能使用余弦定理. 考向2 解实际应用问题

【例2】 (1)(2018·江西南昌一模)已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)的150千米B处,以v千米/小时沿正西方向快速移动,2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐

角)的200千米C处,若cos α=cos β,则v等于( ) (A)60 (B)80 (C)100 (D)125 (2)

(2018·吉林大学附中四模)为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测算两点的距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50 m,∠ABC=105°,∠BCA=45°,则可以计算出A,B两点的距离为 m. 解析:

(1)作图如图所示,由余弦定理得(2.5v)=200+150+2×200×150cos(α+β),(*)

2

2

2

由正弦定理得

2

2

=,sin α=sin β.

由sinα+cosα=1,

解得sin β=,

故cos β=,sin α=,cos α=,

故cos(α+β)=-=0,

代入(*)式,解得v=100.故选C.

(2)根据三角形内角和为180°,所以∠BAC=30°,

由正弦定理=,

即=,

解得AB=50(m). 答案:(1)C (2)50

把实际问题归入可解三角形中,再根据正弦定理、余弦定理得出需要的量,解题中准确画出图形是关键一步. 考向3 平面图形中的有关计算

【例3】 (1)(2018·湖北省高三5月冲刺)《九章算术》是中国古代第一部数学专著,成于公元一世纪左右,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算

弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照

上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为,弦长为

40 m的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为( )(其中π≈3,≈1.73)

2222

(A)15 m (B)16 m (C)17 m (D)18 m (2)

(2018·湖南长郡中学二模)如图,在平面四边形ABCD中,∠A=45°,∠B=60°,∠D=150°,AB=2BC=4,则四边形ABCD的面积为 .

解析:(1)因为圆心角为,弦长为40 m,

所以圆心到弦的距离为20 m,半径为40 m, 因此根据经验公式计算出弧田的面积为

(40×20+20×20)=(400+200)m,

2

实际面积等于扇形面积减去三角形面积为

××40-×20×40

2

=-400m,

2

因此两者之差为故选B. (2)

-400-(400+200)≈16 m.

2

连接AC,在△ABC中,AB=2BC=4,∠B=60°,

222

利用余弦定理得AC=BC+AB-2BC·AB·cos B, 解得AC=2,所以AB=AC+BC, 所以△ABC是直角三角形, 所以∠DAC=∠DCA=15°, 过点D作DE⊥AC,

2

2

2

则AE=AC=,

=2-3, =6-.

所以DE=tan 15°AE=(2-)×则S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=6-3+2答案:(1)B (2)6-

平面图形中计算包括线段长度、图形面积、角度等,基本思想是找出平面图形中的可解三角形,通过解三角形计算出相关的元素,得出求解目标. 热点训练:(1)(2018·广西二模)我国南宋著名数学家秦九韶发现了已知三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”,设△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,则

“三斜求积公式”为S=

2

.若asin C=24sin A,a(sin C-sin

2

B)(c+b)=(27-a)sin A,则用“三斜求积公式”求得的S等于( )