2020年中考数学复习微专题最值问题(费马点问题)

如图，以MG为边作等边△MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）

MHNG

过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，

根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°， ∴△MHQ是等腰直角三角形， ∴MQ=HQ=4，

∴NH=NQ2?HQ2?100?16?229．

Q4M64HNG

【练习】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．

AP

【分析】如图，以AD为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值．至于点P的位置？这不重要！

BC

DABC

如何求BD？考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，BD2?BH2?DH2即可得出结果．

HDABC

【练习】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．

AMDB

【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段． 分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，

EC

FGADMBEC

易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF ∴ME+MA+MD=ME+EG+GF

过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．

FGADMBEHC