立体几何中的向量方法2

解：由题意可知，?SA,SB???3，?SB,SC???2，?SA,SC???4

1|AS||SB||SC|AS?n0AS?(SB?SC)12cos?AS,n0?????

2|AS||AS|?|SB?SC||AS||SB||SC|32.1.6求空间四边形中面面成角.

PA?平面ABC，AC?BC，PA?AC 例题8、如图九所示，空间四边形PABC中，

所以?AS,n0???，即直线SA与平面SBC所成角的大小为

?. 6 ?1，BC?2，求二面角A?PB?C的大小.

分析：平面PAB与平面PBC的法向量所成角与所求二面角的平面角相等或互补，

只需求

出平面PAB与平面PBC的法向量所成角即可. 解：由已知条件可知，|AP|?|AC|?1，|CB|?2，

?AP,AC???AP,CB???AC,CB??90?令平面PAB的法向量为n0，平面PBC的法向量为m0，则n0?PA?AB|PA?AB|，m0?PC?BC|PC?BC|P ， 则

cos?n0,m0??n0?m0?(PA?AB)?(PC?BC)|PA?BC|?|PC?BC| A B

C

由拉格朗日恒等式可得，

PA?PCPA?BCcos?n0,m0?=AB?PCAB?BC|PA?BC|?|PC?BC|=?33，得?n0,m0?=??arccos 333. 3因为二面角A?PB?C是锐角，所以二面角A?PB?C的大小为arccos2.2巧用向量内积的变形式，求空间四边形中的距离（两点间距离、线线距离、

线面距离、点面距离、点线距离）。

2.2.1度量空间四边形中线段长度.

例题9、如图六所示，空间四边形OABC中，边OA、AB、BC互相垂直，连接

对角线AC、OB，且有OA?a，AB?b，BC?c，求边OC的长度. 分析：根据向量模长与内积的关系：|OC|2?OC?OC，即可求出边OC的长度.

O

解：由题意可得OA?AB，AB?BC，BC?OA，

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C

B

知OA?AB?AB?BC?BC?OA?0，

OC?OA?AB?BC

|OC|2?OC?OC=(OA?AB?BC)?(OA?AB?BC)=a2?b2?c2 所以|OC|?a2?b2?c2，即OC?a2?b2?c2.

2.2.2求空间四边形中点线距离.

例题10、如图十所示，空间四边形ABCD中，线段DA、DB、DC两两互相垂

直，AD?4，DB?6，DC?8，求点A到直线BC的距离. 分析：求出直线BC的单位方向向量m0，由向量内积的几何意义可知，|BA?m0|的值，

是点B到经过点A作直线BC的法向量所在直线的距离，即点A到直线

BC的距离为|AB|2?|BA?m0|2.

解：由已知条件可得，BD?DA?DA?DC?BD?DC?0，|BD|?6，

A |DC|?8，|AD|?4，|AB|?52，|BC|?10，BC?DC?DB， BA?BD?DA D

BA?m0?(BD?DA)?BC|BC|?(BD?DA)?(DC?DB)18B ?

105C 所以点A到直线BC的距离为52?324461. ?2552.2.3求空间四边形中线线距离.

SA?SB?SC?AB?BC?AC=1，例题11、如图十一所示，空间四边形SABC中，

求异面直线SA与BC的距离. 分析：找到与SA、BC同时垂直的单位向量n0，然后分别在异面直线SA与BC上

各取一点，不妨取A和B，由向量内积的几何意义可知，|AB?n0|的值即为异面直线SA与BC的距离.

解：由已知条件可得，|SA|?|SB|?|SC|?1，SA?SB?SA?SC?SB?SC? 取SA、BC中点分别为D、E，连结DE，容易知道，

111S

DE?SA，DE?BC，ED?SA?(SB?SC)?(SA?SB?SC)， 222D

C E

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1 2A

B

1(SA?SB?SC)， AB?SB?SA，取n0?21|SA?SB?SC|2 则|AB?n0|?|(SB?SA)??12SA?SB?SC|SA?SB?SC||?|(SB?SA)?(SA?SB?SC)(SA?SB?SC)?(SA?SB?SC)|

?||?22 所以异面直线SA与BC的距离为 . 222.2.4求空间四边形中点面距离.

例题12、如图十二所示，空间四边形SABC中，线段SA、SB、SC两两互相垂

直，SA?SB?a?0，SC?2a，求点S到平面ABC的距离. 分析：如果n0是平面ABC的一个单位法向量，由向量内积的几何意义可知，

|AS?n0|的值即为点S到平面ABC的距离.

解：由已知条件可得，|AB|?2a，|AC|?|BC|?5a，sin?BAC?和AC在平面ABC内，共点于A.且有AB?AC?0， 即（AB?AC）? 平面ABC，则得到n0?AB?AC|AB?AC|310S ， AB. |AB?AC|A |=

AB?ACC

B |AS?n0|?|AS?

|?|AS?[(SB?SA)?(SC?SA)]|AB?AC||AS?(SB?SC)?AS?(SB?SA)?AS?(SA?SC)?AS?(SA?SA)||AB|?|AC|?sin?BAC2a32a?2?33a2a. 3利用空间自由向量求解空间四边形中与点、线、面有关的角，距离、线段长、共点、共线等问题，关键是恰当的选取基向量，将相关向量用选取的基向量线性表示，将所求问题转化为向量的基本运算，通过向量相等、平行、内积、外积的充要条件，及内积和外积的几何意义等，来处理立体几何中的问题.

二期教材先让学生学会运用正交的基向量处理立体几何问题，从学生的最近发展区设计教材，打开了一扇小窗，使一部分学有余力的学生，自主学习外积，应用外积求面积，点积对外积的混合积求体积，钻研用自由向量处理立体几何中

所以点S到平面ABC的距离为

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的问题。这样的设计做到了不同层次的学生得到了不同的发展。

立体几何是研究空间图形的形状、大小与位置关系的数学分支，它除平面几何需要的?计算能力?、?逻辑思维能力?外，还需要具备对空间图形的想象能力，这是立体几何学习的一个重点，也是一个难点，向量方法的介入，使立体几何中不少问题的解决程序化了，从而开拓了立体几何解决问题的思想方法，降低了立体几何学习的难度。

与平面几何一样，向量方法进入立体几何的切入点是：用向量的几何表示来刻画线段，用点的位置来刻画对应点，用空间向量的线性运算与数量积运算来刻画空间图形的变换。所以向量是拓展数学观念的一种载体，空间结构代数化的一个基础，联结几何、代数、三角的一个枢纽。

所以新的课改、新的理念、新的教材，把理念转化为教学行为，在提高教学质量上下功夫是我们教学活动中，长期探讨的问题；钻研教材、挖掘教材是我们备课过程中，常备常新的课题；一轮课改下来，教教材是死的，用教材是活的，开发教材才是真的是我们常说的话题。

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