2013年全国高校自主招生数学模拟试卷4

]

所以a1=?2，d=(?2?2) a1=(?2?2)(?2)=22?2．……………………20分

x2214．设曲线C1：2?y?1（a为正常数）与C2：y2=2（x+m） 在x轴上方仅有一个公共点P．

a⑴ 求实数m的取值范围（用a表示）；

⑵ O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0

1时，试求ΔOAP的面积的最大值（用a2?x2?2?y2?1,⑴ 【解】 由?a消去y得，x2+2a2x+2a2m-a2=0． ①

2??y?2(x?m) 设f(x)= x2+2a2x+2a2m-a2，问题⑴转化为方程①在x∈(-a，a)上有唯一解或等根．

只须讨论以下三种情况：

2

1? Δ=0得 m=a?1．此时 xp= -a2，当且仅当-a<-a2

2

2? f(a)·f(-a)<0当且仅当–a

3? f(-a)=0得m=a．此时 xp=a-2a2，当且仅当-a< a-2a2

a2?1综上可知，当0

2

当a≥1时，-a

1ayp． 2∵0

1，故-a

然当m=a时，xp取值最小．由于xp>0，从而yp?1?1a2?1

当m=时，xp=-a2，yp=1?a2，此时S=a1?a2．

221a1?a2的大小： 211令aa?a2=a1?a2，得a=.

23下面比较aa?a2与

]

111a1?a2．此时Smax=a1?a2．

3221112 当

223故当0

15．用电阻值分别为a1、a2、 a5 、a6 (a1>a2>a3>a4>a5>a6) 的电一个如图的组件，在组装中应如何阻，才能使该组件总电阻值最小？结论．

【解】 设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为RFG．当Ri=ai ，i=3，4，5，6，R1，R2是a1，a2的任意排列时，RFG最小．…………………………………………5分

证明如下

1°设当两个电阻R1，R2并联时，所得组件阻值为R：则1?1?1．故交换二电阻的位置，

RR1R2不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1>R2．

2°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB：

A a3、a4、阻组装成选取电证明你的

RABRR?R1R3?R2R3RR． ?12?R3?12R1?R2R1?R2R1 R2 图1 R3 B 显然R1+R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一个．

3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD：

R1 R3 R2 111R1R2?R1R3?R1R4?R2R3?R2R4???RCDRABR4R1R2R4?R1R3R4?R2R3R4．

若记S1?1?i?j?4C R4 图2 D ?RRij，S2?i1?i?j?k?4?RRRjk．则S1、S2为定值．

于是RCD?S2?R1R2R3．

S1?R3R4只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4

]

4°对于图3，把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使R6

而由3°，要使RCD最小，应使R4< R3 < R2且R4< R3 < R1．

这就说明，要证结论成立………………………………………………………20分

F E G

A C R1 R2 R4 R3 B D R5 E G R6 图3