第1讲.集合、简易逻辑含答案

对于条件p和结论q，“若p成立，则q成立”是一个命题，这个命题的真假反映着这一推理过程的正确与否．我们在判断这类命题的真假时，只关心推理过程是否严谨正确，而不关心条件和结论的真假．

【备注】人教B版课本（选修2-1）的例子：

原命题：?x,y?R，如果xy?0，则x?0． 逆命题：?x,y?R，如果x?0，则xy?0． 否命题：?x,y?R，如果xy?0，则x?0． 逆否命题：?x,y?R，如果x?0，则xy?0．

一般情况下，我们可以将“?x,y?R，”省略，而不会对命题的表述以及相关命题的书写造成困扰．

但如果我们要写该命题的否定，则一定不能省略“?x,y?R，”，例如此命题的否定为“?x,y?R，满足xy?0，但x?0．” 下面再给一例：

命题p：若a?0，则关于x的方程ax2?2x?1?0至少有一个负数根．

该命题的否定为“?a?R，满足a?0，但关于x的方程ax2?2x?1?0没有负数根．” 而并非“若a?0，则关于x的方程ax2?2x?1?0没有负数根．”

原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若?p则?q；逆否命题：若?q则?p． 原命题与逆否命题同真假；逆命题与否命题同真假． 【备注】例如以下两个命题等价：

大前提：已知平面上不同的n个点（n≥3）组成的点集

命题p：若过点集中任意两点的直线上均存在点集中的另外一个点，则点集中的n个点共线． 命题q：若点集中的n个点不同时在某条直线上，则存在仅通过点集中的两个点的直线．

三、充分条件与必要条件

如果推理过程“p?q”（读作p可以推出q）是正确的，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件；反之，如果推理过程“p?q”是错误的，那么称p是q的不充分条件，q是p的不必要条件．特别的，如果推理过程“p?q”是正确的，那么称p是q的充分必要条件，同时q也是p的充分必要条件，此时也称p与q是等价的．

真题再现

（2012年北京）设a,b?R．“a?0”是“复数a?bi是纯虚数”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】 B

第1讲·教师版

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小题热身

1、

（2011年福建）若a?R，则“a?2” 是“?a?1??a?2??0”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2、 （2009年安徽）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）

A．p：a?c?b?d q：a?b且c?d

B．p：a?1，b?1 q：f?x??ax?b（a?0，且a?1）的图象不过第二象限 C．p：x?1 q：x2?x

D．p：a?1 q：f?x??logax（a?0，且a?1）在?0,???上为增函数

3、

（2011年山东）对于函数y?f?x?，x?R，“y?f?x?的图象关于y轴对称”是“y?f?x?是奇函数的”（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4、

x2y2??1表示椭圆”的（ ） “ab?0且a?b”是“方程abA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5、

（2011年江西）已知?1、?2、?3是三个相互平行的平面，平面?1、?2之间的距离为d1，平面?2、?3之间的距离为d2．直线l与?1、?2、?3分别交于P1、P2、P3，那么“PP12?P2P3”是“d1?d2”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

1 A

2 A 3 B 4 C 5 C 经典精讲

考点：命题的否定与四种命题

【例5】 ⑴（2009年天津）命题“?x0?R，2x0≤0”的否定是

； ⑵条件命题“x?2或x?3”的否定是

； ⑶⑶

（2010年天津）命题“若f?x?是奇函数，则f??x?是奇函数”的否命题是 （2011年陕西改）设a，b是向量，命题“若a??b，则a?b”的逆否命题是 ；

．

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第1讲·教师版

【解析】 ⑴“?x0?R，2x0?0”；

⑵“x?2且x?3”；

⑶“若f?x?不是奇函数，则f??x?不是奇函数”． ⑷“若a?b，则a??b”；

考点：命题的充分性与必要性 【例6】 判断下面每个小题中命题p是命题q的什么条件？用“充要条件”，“充分不必要条件”，“必

要不充分条件”，“既不充分也不必要条件”回答． x???0?，B??x|0?x?3?． ⑴前提：集合A??x|?x?1?命题p：“x?A”；命题q：“x?B”．

π（k?Z）”． 4⑶前提：已知?、?为两个不同的平面，a、b为?内两条不同的直线． ⑵命题p：“tanx?1”；命题q：“x?2kπ?命题p：“a∥?且b∥?”；命题q：“?∥?”． ⑷前提：a,b为两个非零实数． 命题p：“

ab?1”；命题q：“?1”． ba【解析】 ⑴ 充分不必要条件；⑵ 必要不充分条件； ⑶ 必要不充分条件；⑷ 必要不充分条件．

【拓3】 ⑴前提：a、b为非零向量．

命题p：“a?b”；命题q：“f?x??xa?b?xb?a为一次函数”． ⑵前提：?an?为数列．

命题p：“?n?N?，an?1?an”；命题q：“数列?an?为递增数列”． ⑶前提：a,b为实数．

命题p：“a2?b2?a?b?0”；命题q：“a≥0，b≥0且ab?0”． ⑷前提：记实数x1,x2,min?x1,x2,,xn?．

,xn中的最大数为max?x1,x2,????,xn?，最小数为

?abc??abc?△ABC的三边长为a、b、c（a≤b≤c），定义倾斜度为l?max?,,??min?,,?．

?bca??bca?命题p：“l?1”；命题q：“△ABC为等边三角形”．

【解析】 ⑴ 必要不充分条件；⑵ 充分不必要条件； ⑶ 充要条件；⑷ 必要不充分条件．

课后习题

一、选择题

第1讲·教师版

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1、 （2011年广东）已知集合

A???x,y?|x2?y2?1,x,y?R?，

B???x,y?|y?x,x,y?R?，则A【解析】 C． 2、

B的元素个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

（2010年全国课标）已知集合A??x|x≤2,x?R?，B?x|x≤4,x?Z，则A（ ）

A．?0,2? B．?0,2? C．?0,2? D．?0,1,2?

【解析】 D 3、

?x?2?≤0?，则A（2011年江西）若集合A??x|?1≤2x?1≤3?，B??x|x??B?（ ）

??B?A．?x|?1≤x?0? B．?x|0?x≤1? C．?x|0≤x≤2? D．?x|0≤x≤1?

【解析】 B

4、 集合A??x|0≤x?3,x?N?的真子集个数为（ ）

A．16 B．15 C．8 D．7

【解析】 D

5、

若“??p?q?”为真命题，则（ ）

A．p、q均为真命题 B．p、q均为假命题

C．p、q中至少有一个为真命题 D．p、q中至多有一个为真命题

【解析】 D

6、 命题“?x0?R，sinx0≤1”的否定为（ ）

A．?x0?R，sinx0≥1 B．?x0?R，sinx0≤1 C．?x0?R，sinx0?1 D．?x0?R，sinx0?1

【解析】 D 7、

设a、b都是非零向量，那么命题“a与b共线”是命题“a?b?a?b”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】 B

8、

设abc?0，“ac?0”是“方程ax2?by2?c表示椭圆”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】 B

二、填空题 9、

集合A??4,5,7,?9，B??3,4,7,8,9?，U?A个．

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第1讲·教师版

B，则eU?AB?中的元素共有