第1讲.集合、简易逻辑含答案

（ ）

A．M?N且M?N B．N?M且M?N C．M?N D．以上都不对

5、

已知M??y|y?x?1?，N???x,y?|x?2?y2?1?，则集合MN的子集个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．4

6、

已知集合A?x|x2?3x?10≤0，集合B??x|p?1≤x≤2p?1?，若AB?B，则实数

?p的取值范围是（ ）

A．???,3? B．?2,3? C．???,3? D．?2,3? 1 A

2 A 3 B 4 C 5 B 6 A 经典精讲

考点：集合的概念与基本运算

???x?y?1?0??【例1】 ⑴（2010年丰台一模文）若集合P??0,1,2?，Q???x,y?|?则Q,x,y?P?，

x?y?2?0?????中的元素的个数是（ ）

A．3 B．5 C．7 D．9 ⑵（2009年山东）集合A??0,2,a?，B?1,a2．若A??B??0,1,2,4,16?，则a的值

是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．4 ⑶

（2010年天津理）设集合A??x|x?a?1,x?R?，B??x|x?b?2,x?R?，若A?B，

则实数a,b必满足（ ）

A．a?b≤3 B．a?b≥3 C．a?b≤3 D．a?b≥3 ⑷

对任意两个集合M、N，定义M?N??x|x?M,且x?N?，

M?N??M?N??N?M?，设M?y|y?x2,x?R，N??y|y?3sinx,x?R?，则

??M?N? ．

⑸S（2011年安徽）设集合A??1,2,3,4,5,6?，B??4,5,6,7,8?，则满足S?A且B??的集合S的个数是（ ）

A．57 B．56 C．49 D．48

【解析】 ⑴B．⑵D．⑶D．⑷??3,0?

考点：新定义集合

【例2】 ⑴设x,y,z都是非零实数，试用列举法将

合表示出来． ⑵

定义集合运算：A设集合A??0,1?，B??2,3?，B??z|z?xy?x?y?,x?A,y?B?．

则集合AB的所有元素之和为（ ）

A．0 B．6 C．12 D．18

xyzxyxyz????的所有可能值构成的集xyzxyxyz?3,???．⑸B．

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⑶

（2012年西城二模文）已知集合A??a1,a2,,a20?，ai?0（i?1,2,,20）．集合

B???a,b?|a,b,a?b?A?，则集合B中的元素个数的最大值为（ ） A．210 B．200 C．190 D．180 【追问】若将条件“ai?0”改为“ai≥0”，应当如何考虑？

【解析】 ⑴??3,?1,1,5?．⑵D．⑶C．

【追问】选A．将集合A改为?0,1,对．

【拓1】 设S1、S2、S3是三个由实数组成的非空集合．对于1,2,3的任意一个排列i,j,k，均有对

任意x?Si，y?Sj，均有x?y?Sk．求证：0??S1【解析】 只需要证明某个集合中含有元素0．

设x?S1，y?S2，则

1°若x?y，则x?y?0?S3，命题成立； 2°若x?y，则列表如下： S1S2xy?x?yS3x?y y?x,19?即在原来的基础上增加对角线上的20个有序数

S2S3?．

从表中知每个集合中均有非负数． 若某个集合中有0，则命题得证；

否则，考虑S1、S2、S3中的最小正数x1、x2、x3．

若x1、x2、x3中没有相等的数，不妨设x1?x2?x3，则考虑S3中的元素x2?x1，而0?x2?x1?x3，与x3是S3中的最小正数矛盾．

因此x1、x2、x3一定有相等的数，进而命题得证．

【备注】列表分析是处理由若干已知集合得到新集合问题时的重要方法．

考点：集合对运算的封闭性

【例3】 设符号“”是数集A中的一种运算，如果对于任意的x,y?A，都有xy?A，则称集合A是

封闭的． ⑴⑵

判断集合A?x|x?m?2n,m,n?Z对实数的乘法是否封闭？

若集合B?x|x?m2?n2,m,n?Q,x?0，求证：集合B对实数的乘法和除法均封闭．

????【解析】 ⑴设x?m1?2n1?A，y?m2?2n2?A，m1,n1,m2,n2?Z．

则xy??m1m2?2n1n2??2?m1n2?m2n1??A，因此命题得证． ⑵设x?m12?n12，y?m22?n22，x,y?0，m1,n1,m2,n2?Q，则

xy?m12m22?m12n22?n12m22?n12n22??m1m2?n1n2???n1m2?m1n2?且xy?0，于是xy?B；

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xxxxy?m1m2?n1n2??n1m2?m1n2??0?B； 且，于是?2??????yyyy?m22?n22??m22?n22?22因此原命题得证．

【拓2】 （2007年北京）已知集合A??a1,a2,中的元素构成两个相应的集合：

，其中ai?Z（i?1,2,,ak?（k≥2）

,k），由AS???a,b?|a?A,b?A,a?b?A?，T???a,b?|a?A,b?A,a?b?A?． 其中?a,b?是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n． 若对于任意的a?A，总有?a?A，则称集合A具有性质P．

⑴ 检验集合?0,1,2,3?与??1,2,3?是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；

⑵ 对任何具有性质P的集合A，证明：n≤【解析】 ⑴ 集合?0,1,2,3?不具有性质P．

集合??1,2,3?具有性质P，其相应的集合S????1,3?,?3,?1??和T???2,?1?,?2,3??． ⑵ 首先，由A中元素构成的有序数对ai,aj共有k2个． 因为0?A，所以?ai,aj??T（i?1,2,,k）；

,k）．

k?k?1?2；

⑶ 判断m和n的大小关系，并证明你的结论．

??又因为当a?A时，?a?A，所以当?ai,aj??T时，?aj,ai??T（i?1,2,从而，集合T中元素的个数最多为⑶ m?n，证明如下：

k?k?1?k?k?1?12k?k??，即n≤． ?2221°对于?a,b??S，根据定义，a?A，b?A，且a?b?A，从而?a?b,b??T．

如果?a,b?与?c,d?是S的不同元素，那么a?c与b?d中至少有一个不成立，从而a?b?c?d与b?d中也至少有一个不成立．

故?a?b,b?与?c?d,d?也是T的不同元素．

可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，

2°对于?a,b??T，根据定义，a?A，b?A，且a?b?A，从而?a?b,b??S．如果?a,b?与?c,d?是T的不同元素，那么a?c与b?d中至少有一个不成立，从而a?b?c?d与b?d中也至少有一个不成立，

故?a?b,b?与?c?d,d?也是S的不同元素．

可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m， 综合1°2°，m?n．

考点：集合与集合的关系

【例4】 设a,b?R，函数f?x??x2?ax?b，

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集合A??x|x?f?x?,x?R?，B?x|x?f?f?x??,x?R． ⑴证明：A是B的子集； ⑵

当A???1,3?时，求集合B．

【解析】 ⑴x?f?x??f?x??f?f?x??，于是A是B的子集．

⑵B??1,3,???3,?3．

?【备注】教师可以借本题讲一下代数式的因式定理，该定理在解高次不等式时有重要作用．

1.2简易逻辑

知识结构图

知识梳理

一、命题的概念

⑴命题：可以判断真假的语句叫做命题．

⑵逻辑联结词：“或（?）”、“且（?）”、“非（?）”． ⑶复合命题的真值表

命题?p与命题p一真一假；

命题p?q只有当命题p和命题q同时为真时才为真，其他时候均为假； 命题p?q只有当命题p和命题q同时为假时才为假，其他时候均为真． ⑶含有逻辑联结词“或”、“且”的命题的否定 ⑷含有全称量词、存在性量词的命题的否定

二、“若则”型命题的四种形式及其关系

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