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2012年高考数学基础知识归纳
(4)特殊的向量：零向量a＝O?｜a｜＝O.
单位向量aO为单位向量?｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）???x1?x2
?y1?y2(6) 相反向量：a=-b?b=-a?a+b=0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 ????a?b?b?a 向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 ??a?b?(x1?x2,y1?y2) ??????(a?b)?c?a?(b?c) AB?BC?AC 向量的 减法 三角形法则 ??a?b?(x1?x2,y1?y2) ????a?b?a?(?b) ????????AB??BA,OB?OA?AB ?1.?a是一个向量,满数 乘 向 量 足:|?a|?|?||a| ?????(?a)?(??)a ??a?(?x,?y) ???(???)a??a??a ?????(a?b)??a??b ????a//b?a??b ????a?b?b?a ??????(?a)?b?a?(?b)??(a?b) ??2.?>0时, ?a与a同向; ???<0时, ?a与a异向; ???=0时, ?a?0. ??a?b是一个数 向 量 的 数 量 积 ????1.a?0或b?0时， ??a?b?0. ????a?0且b?0时，2.???? a?b?|a||b|cos(a,b)??a?b?x1x2?y1y2 ???????(a?b)?c?a?c?b?c ?2?2??a?|a|即|a|=x2?y2 ????|a?b|?|a||b| 4.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，
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1图2012年高考数学基础知识归纳
λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)两个向量平行的充要条件
a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b?a2b＝O?x1x2＋y1y2＝O.
x1?x2?x?,?1?2 中点公式OP＝（OP1＋OP2）或?y?y22?y?1.?2?正、余弦定理
正弦定理：
abc???2R. sinAsinBsinC2
2
2
余弦定理：a＝b＋c－2bccosA， 222
b＝c＋a－2cacosB， 222
c＝a＋b－2abcosC. 三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R
④S△=1/2sinC2ab=1/2ac2sinB=1/2cb2sinA ⑤S△=P?P?a??P?b??P?c? [海伦公式] ⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心. 如图： AAA
cAcb bFOEacDBCFb EDBaCrFIC NrCrB aEIaaaB 图2 图3 图4
图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr
图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra 附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
空间向量
1．空间向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量 注：?空间的一个平移就是一个向量 第 10 页 共 32 页
2012年高考数学基础知识归纳
?向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ?空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
??OB?OA?AB?a?b ??BA?OA?OB?a?b
?OP??a(??R)
????运算律：?加法交换律：a?b?b?a
???????加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c) ?????数乘分配律：?(a?b)??a??b
3 共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
????行向量．a平行于b记作a//b．
??????当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是
同一直线，也可能是平行直线． 4．共线向量定理及其推论：
??????共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，
??a使＝λb.
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式
?OP?OA?ta．
其中向量a叫做直线l的方向向量. 5．向量与平面平行：
????????已知平面?和向量a，作OA?a，如果直线OA平行于?或在?内，那么我们说向量??a平行于平面?，记作：a//?．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 6．共面向量定理：
?????如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使
???p?xa?yb 推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使?????????????????????????????MP?xMA?yMB或对空间任一点O，有OP?OM?xMA?yMB ①
①式叫做平面MAB的向量表达式 第 11 页 共 32 页
2012年高考数学基础知识归纳
7 空间向量基本定理：
????如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使p?xa?yb?zc ????推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个
????????????????有序实数x,y,z，使OP?xOA?yOB?zOC 8 空间向量的夹角及其表示：
?????????????O已知两非零向量a,b，在空间任取一点，作OA?a,OB?b，则?AOB叫做向量a与?????????b的夹角，记作?a,b?；且规定0??a,b???，显然有?a,b???b,a?；若
????????a,b??，则称a与b互相垂直，记作：a?b.
29．向量的模：
???????????设OA?a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|. ??????10．向量的数量积： a?b?|a|?|b|?cos?a,b?．
??????已知向量AB?a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A?，
??????????作点B在l上的射影B?，则A?B?叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影.
??????????????????可以证明A?B?的长度|A?B?|?|AB|cos?a,e??|a?e|．
11．空间向量数量积的性质：
????????????（1）a?e?|a|cos?a,e?．（2）a?b?a?b?0．（3）|a|2?a?a．
12．空间向量数量积运算律：
?????????????????（1）(?a)?b??(a?b)?a?(?b)．（2）a?b?b?a（交换律）（3）a?(b?c)?a?b?a?c（分配律）．
空间向量的坐标运算
一．知识回顾：
（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a=(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)，则 a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)a?b?a1b1?a2b2?a3b3
a∥b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)?a1a2a3?? a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0 b1b2b3第 12 页 共 32 页
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