2019届高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课堂达标48 定点、定值、探索性问题 文 新人教版

课堂达标(四十八) 定点、定值、探索性问题

[A基础巩固练]

x2y22

1．(2018·北京西城区模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，短轴长为ab2

22.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论．

[解] (1)由短轴长为22，得b＝2，

ca2－b2222

由e＝＝＝，得a＝4，b＝2.

aa2

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

42(2)以MN为直径的圆过定点F(±2，0)． 证明如下：

设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)， 且＋＝1，即x0＋2y0＝4， 42

因为A(－2,0)，所以直线PA方程为y＝所以M?0，所以N?0，

2

2

x2y2

x2y200

22

y0

x0＋2

(x＋2)，

?

???

2y0?y0

，直线QA方程为y＝(x＋2)， ?x0＋2?x0－2

2y0?2y0??2y0??y－，以MN为直径的圆为(x－0)(x－0)＋?y－????＝0， x0－2??x0＋2??x0－2?

2

4x0y04y0

即x＋y－2y＋2＝0，

x0－4x0－4

因为x0－4＝－2y0，所以x＋y＋2y－2＝0， 令y＝0，则x－2＝0，解得x＝±2. 所以以MN为直径的圆过定点F(±2，0)．

2

2

2

2

2

x0y0

x2y2

2．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点F1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶3.

ab(1)求椭圆的方程；

(2)过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点， 11

若m⊥n，求证：＋为定值．

|AB||CD|

?2a∶2b＝2∶[解析] (1)由已知得?c＝1，

?a＝b＋c.

2

2

2

3，

解得a＝2，b＝3. 故所求椭圆方程为＋＝1.

43

(2)证明：由已知F1(－1,0)，当直线m不垂直于坐标轴时， 可设直线m的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)．

x2y2

y＝kx＋，??22由?xy＋＝1，??43

2

2

2

22

得(3＋4k)x＋8kx＋4k－12＝0.

由于Δ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 8k4k－12x1＋x2＝－2，x1x2＝2，

3＋4k3＋4k|AB|＝＝

＋k＋k2

22

2

x1＋x2

2

－4x1x2]

2

??－8k2?2－4×4k－12?＝?2???3＋4k???3＋4k?

＋k2

3k＋4

2

＋k2

3＋4k2

. 同理|CD|＝

1

. 3＋4k＋2＋k2

所以＋＝|AB||CD|

2

1

3k＋4

2＋k2

＝

＋k7

＝. 2

＋k12

当直线m垂直于坐标轴时，此时|AB|＝3，|CD|＝4； 11117

或|AB|＝4，|CD|＝3，所以＋＝＋＝.

|AB||CD|3412综上，

17＋为定值. |AB||CD|121

x2y233．(2018·安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测)椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，

ab3

2

点(3，2)为椭圆上的一点．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1)，且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．

[解] (1)因为e＝

33?3?222

，所以c＝a，a＝b＋?a?. ① 33?3?

32

又椭圆过点(3，2)，所以2＋2＝1. ②

ab由①②，解得a＝6，b＝4， 所以椭圆E的标准方程为＋＝1.

64

22

x2y2

xy??＋＝1，

(2)证明：设直线l：y＝kx＋1，联立?64

??y＝kx＋1，

得(3k＋2)x＋6kx－9＝0. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则

2

2

22

x1＋x2＝－

6k9

，xx＝－， 1222

3k＋23k＋2

易知B(0，－2)， 故kBC·kBD＝

y1＋2y2＋2kx1＋3kx2＋3

·＝· x1x2x1x2

k2x1x2＋3kx1＋x2＋9

＝ x1x2

3k2

＝k＋

x1＋x29

＋ x1x2x1x2

2k22

＝k＋3k·－(3k＋2)＝－2.

3

所以对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．

4．(高考全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a＞0)交

4于M，N两点，

(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由． [解] (1)由题设可得M(2a，a)，N(－2a，a)， 或M(－2a，a)，N(2a，a)．

又y′＝，故y＝在x＝2a处的导数值为a，C在点(2a，a)处的切线方程为y－a24

3

x2

xx2

＝a(x－2a)，

即ax－y－a＝0.

y＝在x＝－2a处的导数值为－a，C在点(－2a，a)处的切线方程为y－a＝－a4

(x＋2a)，即ax＋y＋a＝0.

故所求切线方程为ax－y－a＝0和ax＋y＋a＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：

设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2. 将y＝kx＋a代入C的方程得x－4kx－4a＝0. 故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a. 从而k1＋k2＝＝2kx1x2＋

2

x2

y1－by2－b＋ x1x2

x1＋x2

＝

a－bx1x2ka＋b. a当b＝－a时，有k1＋k2＝0，

则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．

[B能力提升练]

x2y2

1．(2018·山东省实验中学高三段考)如图，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)经过点(0,1)，

ab离心率e＝

3. 2

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线x＝my＋1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′(A′与B不重合)，则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

b＝1

??c3

[解] (1)依题意可得?＝

a2??a＝b＋c2

2

2

，解得a＝2，b＝1.

所以，椭圆C的方程是＋y＝1 4

4

x2

2