第二章 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

39.99＋40.01

解 众数＝＝40；

2

四个矩形的面积分别是0.02×5＝0.1, 0.02×10＝0.2, 0.02×25＝0.5, 0.02×10＝0.2. 0.2

中位数为39.99＋＝39.998；

25

平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996. 类型二 标准差、方差与应用

例3 计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准差(标准差结果精确到0.1)． 11

解 ①x＝90＋[(－1)＋3＋(－2)＋1＋4＋0＋(－2)＋(－3)]＝90＋×0＝90；

88②计算xi－x(i＝1,2，…，8)，得各数据为－1,3，－2,1,4,0，－2，－3； ③计算(xi－x)2(i＝1,2，…，8)，得各数据为1,9,4,1,16,0,4,9； 144

④计算方差：s2＝(1＋9＋4＋1＋16＋0＋4＋9)＝＝5.5；

88⑤计算标准差：s＝5.5≈2.3.

所以这组数据的方差为5.5，标准差约为2.3.

反思与感悟 (1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．

(2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散． (3)若样本数据都相等，则s＝0.

(4)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的．

跟踪训练3 甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．

(1)分别求出两人得分的平均数与方差；

(2)根据图和(1)中算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．

解 (1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；

乙：13分，14分，12分，12分，14分． 10＋13＋12＋14＋16x甲＝＝13，

513＋14＋12＋12＋14x乙＝＝13，

5

122222

s2甲＝[(10－13)＋(13－13)＋(12－13)＋(14－13)＋(16－13)]＝4， 5122222s2乙＝[(13－13)＋(14－13)＋(12－13)＋(12－13)＋(14－13)]＝0.8. 5

22(2)由s甲＞s乙可知乙的成绩较稳定．

从折线图来看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．

1．某市2016年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：

则这组数据的中位数是( ) A．19 B．20 C．21.5 D．23 答案 B

解析 由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是

20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B.

2．设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为( ) A．1＋a,4 C．1,4 答案 A

解析 ∵x1，x2，…，x10的平均数x＝1，方差s21＝4，且yi＝xi＋a(i＝1,2，…，10)，∴y1，y2，…，y10的平均数y＝x10)＋a＝x＋a＝1＋a，

111

·(y1＋y2＋…＋y10)＝·(x1＋x2＋…＋x10＋10a)＝·(x＋x＋…＋10101012

2

其方差s2＝

B．1＋a,4＋a D．1,4＋a

1

·[(y1－y)2＋(y2－y)2＋…＋(y10－10

1

y)2]＝[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝s21＝4.故选A. 103．已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________． 答案 6

4＋6＋5＋8＋7＋6解析 由已知得，所求平均数为＝6.

6

4．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________． 答案 16

解析 设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8， 可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝16. 5．某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下： 74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.

(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差； (2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差． 解 (1)这10个学生体重数据的平均数为x＝74)＝71.

这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72，

71＋72

∴这10个学生体重数据的中位数为＝71.5.

2

1

×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋10

这10个学生体重数据的方差为 s2＝

1

×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋10

(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11， 这10个学生体重数据的标准差为s＝s2＝11. (2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为11.

1．利用直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点．②中位数左右两边直方图的面积应相等．③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 2．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．

3．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．

40分钟课时作业

一、选择题

1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数，众数，中位数分别为( )

A．85分，85分，85分 C．87分，85分，85分 答案 C

100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75

解析 平均数为＝87，众数为85，中位数为85，故选C.

102．某台机床加工的五批同数量的产品中次品数的频率分布如表：

次品数 频率 则次品数的平均数为( ) 0 0.5 1 0.2 2 0.05 3 0.2 4 0.05 B．87分，85分，86分 D．87分，85分，90分