第二章 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

学习目标 1.能合理地选取样本，并从中提取基本的数字特征；2.了解众数、中位数、平均数的概念，会计算方差和标准差；3.进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的数字特征估计总体的数字特征．

知识点一 众数、中位数、平均数

思考1 平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？ 答案 平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大．

思考2 在电视大奖赛中，计算评委打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分？

答案 为了避免平均值受数据中个别极端值的影响，增大它在估计总体时的可靠性，故计算评委打分时要去掉一个最高分和一个最低分． 梳理 众数、中位数、平均数定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数．

(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．

1

(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么x＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．

n知识点二 方差、标准差

思考1 当样本数据的标准差为0时，该组数据有何特点？ 答案 当样本数据的标准差为0时，该组数据都相等． 思考2 标准差、方差的意义是什么？

答案 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小． 梳理 标准差、方差的概念及计算公式

(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝ 1[?x1－x?2＋?x2－x?2＋…＋?xn－x?2]. n

(2)标准差的平方s2叫做方差．

1

s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2](xn是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数)．

n(3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s＝0时，每一组样本数据均为x. 知识拓展 平均数、方差公式的推广：

1．若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a.

2．设数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，则 1222

a．s2＝[(x21＋x2＋…＋xn)－nx]； n

b．数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； c．数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.

知识点三 用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征 1．样本的基本数字特征包括众数、中位数、平均数、标准差． 2．平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，还需要用标准差来反映数据的分散程度．

3．现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，虽然总体的平均数与标准差客观存在，但是我们无从知道．所以通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差．虽然样本具有随机性，不同的样本测得的数据不一样，与总体的数字特征也可能不同，但只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．

类型一 众数、中位数和平均数的理解与应用 命题角度1 众数、中位数、平均数的计算 例1 某公司的各层人员及工资数构成如下：

人员：经理1人，周工资2 200元；高层管理人员6人，周工资均为250元；高级技工5人，周工资均为220元；工人10人，周工资均为200元；学徒1人，周工资为100元． (1)计算该公司员工周工资的众数、中位数、平均数； (2)这个问题中，平均数能客观地反映这个公司的工资水平吗？ 解 (1)众数为200，中位数为220，平均数为 2 200×1＋250×6＋220×5＋200×10＋100×1

＝300.

1＋6＋5＋10＋1

(2)虽然平均数为300，但由给出的数据可见，只有经理的周工资在平均数以上，其余的都在平均数以下，故用平均数不能客观地反映该公司的工资水平．

反思与感悟 (1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．

(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题．

(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．

(4)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动．

(5)因为平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息．但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．

跟踪训练1 对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列结论： ①这组数据的众数是3；

②这组数据的众数与中位数的数值不相等； ③这组数据的中位数与平均数的数值相等； ④这组数据的平均数与众数的数值相等． 其中正确结论的个数为( ) A．1 C．3 答案 A

解析 在这11个数中，数3出现了6次，频率最高，故众数是3；将这11个数按从小到大的顺序排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间数据是3，故中位数是3；而平均数x＝2×2＋3×6＋6×2＋10

＝4.故只有①正确．

11

命题角度2 在频率分布直方图中估算众数、中位数、平均数

B．2 D．4

例2 以教材2.2.1节调查的100位居民的月均用水量为例，样本数据的频率分布表和频率分布直方图如图所示，试估算月均用水量的中位数．

解 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积是相等的，由此可以估计中位数的值．下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为2.02 .

反思与感悟 样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息．平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大． 跟踪训练2 一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图．试估计这个样本的众数，中位数和平均数．