中考数学复习专题讲座三：开放性问题（适合八年级使用）

2013年中考数学复习专题讲座三：开放性问题 一、中考专题诠释

开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类． 二、解题策略与解法精讲

解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。 三、中考考点精讲 考点一：条件开放型

条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．

例1 （2012?义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是 ．（不添加辅助线）．

例一 例二 例三 考点二：结论开放型：

给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．

例2 （2012?宁德）如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE．问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明． 考点三：条件和结论都开放的问题：

此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．

例3 （2012?广元）如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF．

（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果…，那么…”） 四、中考真题演练 一、填空题

1．（2012?娄底）写出一个x的值，使|x﹣1|=x﹣1成立，你写出的x的值是 ． 2．（2012?宁波）写出一个比4小的正无理数 ． 3．（2012?连云港）写一个比大的整数是 ． 4．（2012?天津）将正比例函数y=﹣6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 （写出一个即可）． 5．（2012?益阳）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式： ． 6．（2012?湛江）请写出一个二元一次方程组 ，使它的解是

．

10．（2012?赤峰）存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过（1，1）点；②当x＞0时，y随x的增大而减小，这个函数的解析式是 （写出一个即可）． 11．（2012?三明）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE=∠CDF，请你添加一个条件，使DE=DF成立．你添加的条件是 ．（不再添加辅助线和字母）

11题 12题 13题 12．（2012?盐城）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是 ．（填上你认为正确的一个答案即可） 13．（2012?佳木斯）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件 ，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）． 三、解答题

16．（2012?张家界）先化简：

17．（2012?新疆）先化简喜欢的值，并求值

，然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个你，再用一个你最喜欢的数代替a计算结果．

18．（2012?吉林）在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两

个情境：

情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校； 情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进． （1）情境a，b所对应的函数图象分别是 、 （填写序号）； （2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境． 19．（2012?衢州）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．

20．（2012?佳木斯）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．

（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；

（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．

21．（2012?朝阳）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形ABCD为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ．

21题 23题 25题 17题 22．（2012?柳州）右表反映了x与y之间存在某种函数关系，现给出了几种可能的函数关系式： y=x+7，y=x﹣5，y=﹣，y=x﹣1

x … ﹣6 ﹣5 3 4 … y … 1 1.2 ﹣2 ﹣1.5 …

（1）从所给出的几个式子中选出一个你认为满足上表要求的函数表达式： ； （2）请说明你选择这个函数表达式的理由． 23．（2012?漳州）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2． 请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论， 组成一个真命题，并给予证明．

题设： ；结论： ．（均填写序号） 证明： 25．（2012?南平）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E、F分别在边BC、AD上，连接AE、CF，请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件．使四边形AECF是平行四边形，并予以证明，

备选条件：AE=CF，BE=DF，∠AEB=∠CFD， 我选择添加的条件是： ． 画出符合要求的示意图，并加以证明

17．右图中每一个小方格的面积为l，则可根据面积计算得到如下算式：1+3+5+7+…+(2n-1)= .(用n表示，n是正整数)

19．(本题满分9分)为了援助失学儿童，初三学生李明从2012年1月份开始，每月一次将相等数额的零用钱存入已有部分存款的储蓄盒内，准备每6个月一次将储蓄盒内存款一并汇出(汇款手续费不计)．已知2月份存款后清点储蓄盒内有存款80元，5月份存款后清点储蓄盒内有存款125元．

(1)在李明2012年1月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元?

(2)为了实现到2015年6月份存款后存款总数超过1000元的目标，李明计划从2013年1月份开始，每月存款都比2012年每月存款多t元(t为整数)，求t的最小值．

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