高等数学（东北大学出版社）第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案

9.

?314?x21dx??6 10.

?21x2?1?dx?3? x34225e?122x11.?1lnxdx?2? 12.?xedx?

0e4ee13.?????1dx?? 14.

x2?2x?2???0xe?xdx?1

2215. 已知f(0)?1,f(2)?3,f?(2)?5，则四、应用题

?20xf??(x)dx?8.

1.三次抛物线y?x与直线y?2x所围成图形的面积为2.

?x2.由曲线y?e，y?e及直线x?1所围成封闭图形的面积为e?x31?2. e3.由曲线y?23x与y?sinx及x??所围图形的面积为?2?2.

324.由曲线y?x与y?x?2所围成图形的面积为

20. 35.由曲线y?x?3?x?，直线y?2，y轴所围成的平面图形绕y轴旋转所形成旋转体的体积为

?. 236. 由曲线y?x,x?1及x轴所围成图形，绕x轴旋转所成立体的体积为旋转所成立体的体积为

2?，绕y轴72? 57.抛物线y??x?4x?3及其在点(0,-3)各点(3,0)处的切线所围成图形，面积为

927，该图形绕y轴旋转所得的旋转体体积为?. 448.生产某产品的边际成本为C?(x)?8x（万元／百台），边际收入为

R?(x)?100?2x（万元／百台），其中x为产量。若固定成本为10万元，则：

（1）产量为10百台时，利润最大

（2）从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元

第8章 常微分方程

习题8.1

1.写出以下方程的阶数:

(1) 常微分方程xy????2y???xy?0的阶数为3. (2) 常微分方程ydy??1?2x?dx的阶数为1. (3) 常微分方程y?2dydy???a?x?y2?的阶数为1. dxdx??2.下列方程中，哪些是微分方程？哪些不是微分方程？

(1) 方程y???4y??3y?0是微分方程 (2) 方程y?4y?3?0 不是微分方程 (3) 方程y?2x?3 不是微分方程 (4) 方程y??2x?3是微分方程

2d2y?1?x是微分方程 (5) 方程dy?cosxdx是微分方程 (6) 方程2dx3.（略） 4.

函数关系式y?c1sin?x?c2?在k?Z,c1??1,c2?2k??时，满足初始条件yx???1,y?x???0

?2或c1?1,c2?2k???2习题8.2

1.用分离变量法求解下列微分方程： （1）微分方程

dy??2y(y?2)的通解为(y?2)e4x?Cy?0 dx?x（2）微分方程y??y?0的通解为y?Ce

（3）微分方程1?xdy?1?ydx?0的通解为arctanx?arctany?C

?2??2?（4）微分方程

dyyarctanx?的通解为y?Ce

2dx1?xxxx??dy2?1?x?xy的通解为y?Ce23 （5）微分方程dx??23（6）微分方程(ex?y?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0的通解为(ex?1)(ey?1)?C

2.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：

(1)曲线在点(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的2倍，所满足的微分方程为

dy?2x. dx(2)曲线在点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分，所满足的微分方程为2x?ydy?0. dx3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1) 微分方程cosxsinydy?cosysinxdx

满足yx?0??4的特解为cosx?2cosy?0.

(2) 微分方程cosydx?1?e满足yx?0???x?sinydy?0

?4x的特解为e?22cosy?1?0.

4.镭元素的衰变满足如下规律：其衰变的速度与它的现存量成正比，经验得知，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，则镭现存量与时间t的函数关系为m?m0e其中，m0表示镭的原始量，m表示镭的现存量.

?0.000433t，

习题8.3

1.求解下列方程： （1）微分方程

dyyyy??tan的通解为sin?Cx dxxxxdyy?y?x2?y2(x?0)的通解为arcsin?C?lnx dxx22（2）微分方程x（3）微分方程xdy?(xy?y)dx的通解为

xyxyx?C?lnx yxx（4）微分方程(1?2e)dx?2e(1?)dy?0的通解为x?2yey?C

y（5）微分方程y?x22dydyy?xy的通解为lny??C dxdxxdyy2y?（6）微分方程的通解为2lny??C dxxy?2x2x2.设曲线y?f(x)上任一点处的切线斜率为为y?4x?2x.

3.设某曲线上任意一点的切线介于两坐标之间的部分恰为切点所平分，已知此曲线 过点(2.3)，则该曲线的方程为y?22y?2，且经过点(1,2)，则该曲线方程x6 x 习题8.4

1.填空

(1)微分方程y??2y?0的通解是 y?Ce . ?p(x)dx(2)微分方程y??p?x?y?0的通解是 y?Ce? .

?p(x)dxp(x)dx[Q(x)e??C] . (3)微分方程y??p?x?y?Q?x?的通解是 y?e?2x?2.求下列微分方程的通解: (1) 微分方程y??y?e?2x的通解为y?Ce?x?e?2x

32x1dy(2) 微分方程?3xy?x的通解为y?Ce2?

3dx(3) 微分方程y??2y?x2sinx的通解为y?(C?cosx)x2 x222ye?x?(4) 微分方程y??的通解为2x2y?e?x?C xx(5) 微分方程y??ytanx?sin2x的通解为y?Ccosx?2cosx

2(6) 微分方程x?1y??2xy?cosx?0的通解为y?2??C?sinx

x2?1x3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:

(1) 微分方程y??y?x满足初始条件yx?0?2的特解为y?3e?x?1. (2) 微分方程y??2xy?xe(3) 微分方程y???x2满足初始条件yx?02x2?1的特解为y?(?C)e?x.

22y?1?x?0满足初始条件yx?0?0的特解为21?x