广东省2019年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学(解析版)

只需证lnx1?lnx2?ln??2k?．

即证

kkkk??ln??2k?． ??ln?2k，即证??2222x1tx1x1x2即证k?1???1?1?ln??2k?．…………………………………………………………………………10分 2?2t?x111?．………………………………………………11分 x12?2k2因为?2k?x1?0，所以x1??2k，即

所以k?1???1?11?11?1?1??k1????1????1?1???1． ???2?2?t2?x12t?2k2t2????而ln??2k??ln1??1， e所以k?1???1?1??ln??2k?成立． t2?x12所以x1?x2?2?2k．…………………………………………………………………………………12分

【方法4】因为x1，x2是函数f(x)有两个零点，不妨设x1?x2，令x2?tx1，则t?1．

k?lnx??1x2?0,kk?1由已知得?即lnx2?lnx1?2?2．…………………………………………………8分

x2x1?lnx?k?0,22?x2?先证明

lnx2?lnx1?x2?x11x1x2，即证明lnt?t?1?t?1?． t设h?t??t?1?lnt，则h??t??t?t?12tt?2?0．

所以h?t?在?1,???上单调递增，所以h?t??h?1??0，所证不等式成立．………………………9分

所以有

lnx2?lnx1?k?x1?x2???22x2?x1x1x21．………………………………………………………10分 x1x2即?k?x1?x2???x1x2?．

3因为x1x2?x1?x2（x1?x2），……………………………………………………………………11分 232?x?x2?所以?k?x1?x2???1，即x?x??8k． ??12??2?所以x1?x2?2?2k．…………………………………………………………………………………12分

【方法5】要证x1?x2?2?2k，其中x1??0,?2k?，x??2?2k,??，

?即证x2?2?2k?x1．…………………………………………………………………………………8分

利用函数f?x?的单调性，只需证明f?x2??f2?2k?x1．

??因为f?x2??f?x1?，所以只要证明f?x1??f2?2k?x1，其中x1????0,?2k?．………9分

构造函数F?x??f?x??f2?2k?x，x????0,?2k?，

则F?x??lnx?kk?ln2?2k?x?x22?2k?x????2．…………………………………………10分

因为F??x??12k12k?3?? 3xx2?2k?x2?2k?x??2?4k?2k2?2k?x?x2?2k?x?x2???2?2k??（利用均值不等式）

??3x2?2k?xx32?2k?x?????????2?2kx2?2k?x???4k?2kx2?2k?x2??2 ??2?2kx??2kx2?2k?x2??2??2?0，

所以F?x?在

?0,??2k?上单调递减．…………………………………………………………………11分

?所以F?x??F11?2k?ln?2k??ln?2k??0．

22所以f?x??f2?2k?x在

???0,?2k?上恒成立．

所以要证的不等式x1?x2?2?2k成立．……………………………………………………………12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4 —4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

?x?2?tcos?,?在直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l的参数方程为?（t为参数）．在以坐标原点

y?3?tsin??2为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为??2?cos??8．

（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于A,B两点，且AB?42，求直线l的倾斜角．

?x?2?tcos?,22．（1）解法1：因为直线l的参数方程为?（t为参数），

y?3?tsin??当?=?时，直线l的直角坐标方程为x?2．…………………………………………………………1分 2?时，直线l的直角坐标方程为y?3?tan?(x?2)．……………………………………3分 2222当??因为??x?y,?cos??x，…………………………………………………………………………4分

22因为??2?cos??8，所以x?y?2x?8．

2所以C的直角坐标方程为x?y?2x?8?0．………………………………………………………5分

22?x?2?tcos?,解法2：因为直线l的参数方程为?（t为参数），

y?3?tsin????xsin??2sin??tsin?cos?, ……………………………………………………………2分 则有?ycos??3cos??tsin?cos?,??所以直线l的直角坐标方程为xsin??ycos??2sin??3cos??0 ．………………………3分

??222因为??x?y,?cos??x，…………………………………………………………………………4分

222因为??2?cos??8，所以x?y?2x?8．

所以C的直角坐标方程为x?y?2x?8?0．………………………………………………………5分

22（2）解法1：曲线C的直角坐标方程为x?y?2x?8?0，

22将直线l的参数方程代入曲线C的方程整理，得t2?(23sin??2cos?)t?5?0．……………6分

因为??(23sin??2cos?)2?20?0，可设该方程的两个根为t1，t2，

则t1?t2??23sin??2cos? ，t1t2??5．……………………………………………………7分

??所以AB?t1?t2?(t1?t2)2?4t1t2

2?．…………………………………………………………8分 ????(23sin??2cos?)??20?42整理得(3sin??cos?)2?3，

故2sin??????????3．…………………………………………………………………………………9分 6?因为0≤???，所以?????2??或???， 6363