第八章 弹性体的应力和应变

第八章 弹性体的应力和应变

8.1弹性体的拉伸和压缩

四种物体的形变：拉伸压缩、剪切、扭转、弯曲

本节从弹性均质直杆的情况出发讨论拉伸、压缩的正应力与形变的关系。

（一）外力、内力和应力：

一、外力和内力 ?F? ?F? ??F 对于直杆整体来说作用在

?

直杆的拉力（或压力）F?和????F??F?是外力，设想在直 杆

上某位置作与轴线垂直的假想截面AB，截 面上半部分通过假想截面对下半部分施以向上

?F ?F??

(a)

?F?? ?（或向下）的拉（或压）力?F，

下半部分通过假想截面对上半部分施以向下（或向下）的拉（或压）力F，对直杆整体而言，这对力为内力。

??F? ?F? ??F

当作用力远大于自重时，可把自重忽略不计，据平衡条件得出内力和外力大小相等即：

?F F?F??F??

???

?? F?? F??

(b)

二、直杆的应力：

如果杆的直径比长度小很多，则可认为直杆横向假想截面应力分布均匀的，应力大小为：

??Fn SFn?内力在假想截面外法线方向的投影，S表示横截面的面积，拉伸应力??0，压

缩应力??0。

（二）直杆的线应变

以杆的拉伸为例，如图所示，直杆在竖直方向拉力作用下

发生拉伸形变。

设 l0 直杆的原长

l 形变后的长度

?l?l?l0 ?l?0为绝对伸长

l 一、线应变：绝对伸长和压缩之比称相对伸长（或压缩）又叫线l0 应变。

?l?0为绝对压缩

二、泊松系数：

直杆拉伸压缩时，还产生横向形变。直杆沿轴向拉伸时，则横向收缩，直杆沿轴向压缩时，则横向膨胀。

设想直杆横截面是正方形，每边长为b0，横向形变后边长为b，则横向相对形变或应变为：

b b0 ?l l??0 为拉伸 ??0 为压缩

???1?b?b0?b ?b0b实验证明，对于大多数教材?1的绝对值比相对线应变?的绝对值小3～4倍。横向应 变与纵向应变之比的绝对值称为泊松系数，μ是描写物质弹性特征的物理量。

???1 ?(三)胡克定律

一、内容：对于有拉伸压缩形变的弹性体，当应变较小时，应变与应力成正比。

二、表达式：??Y? 即

Fn?l?Y Sl0比例系数Y称为杨氏模量是描写材料本身弹性的物理量。

(四)拉伸和压缩的形变势能

当外力迫使弹性体产生拉伸压缩形变时，反抗形变的弹性力也是保守力，拉伸压缩形变的弹性体也具有弹性势能。弹性势能等于自势能零点开始保守力做功的负值。外力拉压杆时外力的，功与弹性势能反抗形变而施加于外界芝力做的功大小相等而符号相反，因此，弹性势能等于自势能零点开始外力做功的正值。 1．弹性势能的计算： （1）弹性力：

对进行拉伸或压缩的直杆选择变量直ξ：杆形变前，ξ=0；发生形变?l后，???l，ξ反映形变进行的过程。在形变过程中胡克定律可写作

Fn?YS? l0（2）弹性势能 外力做功为：A???l0Fd?

略去形变过程中横截面积S的变化，则

A???l0YS?lYSd???d? l0l0?02?1YS2?l1?l??Y()l0S ?02l02l0规定未形变时为势能零点，则此外力的功等于形变达到?l时的势能：

1?lEP?Y()2Sl0

2l0?l??（应变） Sl0?V 直杆未形变时的体积 l01EP?Y?2V 直杆拉伸压缩弹性势能的表达式

22．讨论

（1）弹性势能应属于形变物体本身所有，直杆的各部分都发生形变，故弹性势能分布于直杆全部体积内。

（2）若直杆形变是均匀的，则弹性势能均匀地分布于直杆中，弹性势能密度为：

1E0P?Y?2 弹性势能密度与应变平方成正比

28.2 弹性体的剪切应变

(一)剪切形变·剪切应力和应变 一、剪切形变

当物体受到力偶作用使物体两个平行截面间发生相对平行移动时，这种形变叫作剪切形变。 二、剪切应力

?F D ??如图中部隔离体左右两假想截面上受到由F和F?， ??F???F组成的力偶而发生剪切形变。设用S

表示假想截面ABCD的面积，又设力F在该面上均匀 分布，则剪切应力为：

A B C ?F? F ??

S??若隔离体仅受两力F和F?不可能保持平衡，它将沿顺时针方向转起 来；如欲保持平衡，则左右两侧表面上必受到另一力偶， 力F??和F?????F??的作用，根据力偶矩的平衡条件，

C B ?F ?F? A ????Fb ??? D F??

??????M(F,F)?M(F??,F???)

隔离体边长：a、b、c

aa

c??上下底面的剪切应力为?，则F?F???a?c M(F,F?)?(?ac)b ?????????左右侧面的剪切应力为?，则F?F??b?c M(F??,F???)?(??bc)a

(τ·a·c)·b=(τ·b·c)·a

???? 剪切应力互等定律。

定律内容：作用于互相垂直的假想截面上并垂直于该两平面交线的剪切应力式相等的。 三、剪切应变

b b?

c c?

平行截面间相对滑动位移与截面垂直距离之比描写剪切形变，称为剪切变。 a ? d