以二次函数为基架的压轴题解题通法研究及典型题剖析

∴OA FD ＝OB FE ＝AB DE ，∴4 3 FD ＝1 FE ＝5 3 DE ∴FD＝4 5 DE，FE＝3 5 DE

∴p＝2(FD＋FE)＝2(4 5 DE＋3 5 DE)＝14 5 DE

∵点D在抛物线上，点D的横坐标为t，∴D（t，1 2 t2－5 4 t－1） ∴E（t，3 4 t－1），且0＜t＜4

∴DE＝3 4 t－1－(1 2 t2－5 4 t－1)＝－1 2 t2＋2t

∴p＝14 5 (－1 2 t2＋2t)＝－7 5 t2＋28 5 t（0＜t＜4） ∵p＝－7 5 t2＋28 5 t＝－7 5 (t－2)2＋28 5

∴当t＝2时，p有最大值 28 5

（Ⅲ）A1（3 4 ，－31 96 ）或A1（－7 12 ，－29 288 ） 提示：∵△AOB绕平面内某点M逆时针旋转90°得到△A1O1B1（点A1、O1、B1分别与点A、O、B对应）且△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上

∴顶点O1、B1落在抛物线上或顶点A1、B1落在抛物线上 ①当O1、B1落在抛物线上时，则A1O1∥y轴，O1B1∥x轴 ∴O1、B1关于抛物线的对称轴对称 ∵y＝1 2 x2－5 4 x－1＝1 2 (x－5 4 )2－57 32

∴抛物线的对称轴为直线x＝5 4

∵O1B1＝OB＝1，

∴点O1的横坐标为：5 4 －1 2 ＝3 4

当x＝3 4 时，y＝1 2 ×(3 4 )2－5 4 ×3 4 －1＝－53 32

∴O1（3 4 ，－53 32 ） ∵A1O1＝AO＝4 3 ，∴点A1的纵坐标为：4 3 －53 32 ＝－31 96 ∴A1（3 4 ，－31 96 ）

②当A1、B1落在抛物线上时

设A1（a，1 2 a2－5 4 a－1），则B1（a＋1，1 2 a2－5 4 a－1－4 3 ）

∵点B1在抛物线上，∴1 2 a2－5 4 a－1－4 3 ＝1 2 (a＋1)2－5 4 (a＋1)－1 解

得a＝－7 12

∴A1（－7 12 ，－29 288 ）

注：文中的数字之间的“空”表示分数线，有些根号不能显示出来。