以二次函数为基架的压轴题解题通法研究及典型题剖析

（6）直线的斜率公式：

若A（

），B（

）

，则直线AB的斜率为：

,

（7）两直线

平行的结论：

已知直线

①若

② 若

（8）两直线垂直的结论： 已知直线

①若②若

（9）由特殊数据得到或猜想的结论： ① 已知点的坐标或线段的长度中若含有

殊角出现。

② 在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若有特殊角出现，那很多问题就好解决。

③ 还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜 率k的值，

、

等敏感数字信息，那很可能有特

若若若

，则直线与X轴的夹角为；则直线与X轴的夹角为，则直线与X轴的夹角为

； ； 。

这对计算线段长度或或点的坐标或三角形相似等问题创造条件。

三 、中考二次函数压轴题分析

例1 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c（c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点

B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且OB＝OC＝3．点E为线段BD上的一个动点，EF⊥x轴于F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当∠CEF＝∠ABD时，求点E的坐标；

（3）是否存在点E，使△ECF为直角三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵OB＝OC＝3，c＜0，∴B（3，0），C（0，∴y＝x2

＋bx－3，把B（3，0）代入得：

0＝9＋3b－3，∴b＝－2

∴抛物线的解析式为y＝x2

－2x－3

（2）作DG⊥x轴于G，CH⊥EF于H ∵y＝x2

－2x－3＝(

x－1

)2－4，∴D（1，－4）

∴DG＝4，BG＝3－1＝2 设直线BD的解析式为y＝kx＋n

∴3k＋n＝0k＋n＝－4 解得

k＝2n＝－6

∴直线BD的解析式为y＝2x－6

设E（m，2m－6）

∵EF⊥x轴，∴CH＝m，EH＝－(

2m－6

)－3 ∵∠CEF＝∠ABD，∴tan∠CEF＝tan∠ABD

3） －∴CH EH ＝DG BG ＝4 2 ＝2，∴m －( 2m－6 )－3 ＝2

解得m＝6 5 ，∴E（6 5 ，－18 5 ）

（3）①若∠CEF＝90°，则CE∥x轴 ∴点E的纵坐标为－3，代入y＝2x－6

－3＝2x－6，∴x＝3 2

∴E1（3 2 ，－3）

②若∠ECF＝90°，作CH⊥EF于H

则△CHE∽△FCH，∴CH EH ＝FH CH

∴m －( 2m－6 )－3 ＝3 m ，解得m＝－3±32

∵1≤m＜3，∴m＝32－3 ∴E2（32－3，62－12）

综上所述，E点坐标为E1（3 2 ，－3），E2（32－3，62－12）

例2 如图，直线l：y＝3 4 x＋m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，

－1），抛物线y＝1 2 x2＋bx＋c经过点B，与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（Ⅰ）求n的值和抛物线的解析式；

（Ⅱ）点D在抛物线上，DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形．设点D的横坐标为t（0＜t＜4），矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值

（Ⅲ）将△AOB绕平面内某点M逆时针旋转90°得到△A1O1B1（点A1、O1、B1分别与点A、O、B对应），若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的坐标．

解：（Ⅰ）∵直线l：y＝3 4 x＋m经过点B（0，－1），∴m＝－1

∴直线l的解析式为y＝3 4 x－1

∵直线l：y＝3 4 x－1经过点C（4，n） ∴n＝3 4 ×4－1＝2

∵抛物线y＝1 2 x2＋bx＋c经过点B（0，－1）和点C（4，2）

∴1 2 c＝－1×4 2＋4b＋c＝2 解得5 4 b＝－ c＝－1 ∴抛物线的解析式为y＝1

2 x2－5 4 x－1

（Ⅱ）∵直线l：y＝3 4 x－1与x轴交于点A

∴A（4 3 ，0），∴OA＝4 3

∵B（0，－1），∴OB＝1，AB＝OA 2＋OB 2 ＝5 3

∵DE∥y轴，∴∠OBA＝∠FED

又∠DFE＝∠AOB＝90°，∴△OAB∽△FDE