包扎管道模型

包扎管道模型

摘要：在研究布条缠绕圆形管道问题时，易知在管道足够长时，布条重叠的面积越少，能使所用的布条长度越少。故包扎管道时带子没有重叠，且当达到一定的缠绕角度时，就能使所用的布条长度最小。故可建立覆盖模型，根据管道侧面展开图，利用正弦定理，从而得到一个最省带子的缠绕方式。而此时，管道表面积与带子总面积存在一定的关系，故可根据这种关系求出需用多长布条才能全部包住管道。 关键词:覆盖模型，三角关系，面积关系，缠绕角度 1 提出问题

用宽为W的布条缠绕直径为d的圆形管道，如果用布条全部包住管道，当布条的缠绕角度为?时，才能使所用的布条长度最小。若知道管道长度为L，则需用带子长度为L1。 2 合理假设

2.1管道是直的，圆的； 2.2管道粗细一样且足够长； 2.3管道外表面光滑； 2.4带子宽度一样； 2.5包扎时带子没有重叠； 2.6变量限定

W：带子的宽度

L：管道长度

C：管道横截面周长

d：管道的直径

?：布带与管道的缠绕角度，见图1

3 模型构建

当布条完全覆盖管道时，可按照布条的缠绕方式将管道展开，得到图1

[1]。

图1管道侧面展开图

3.1布条应该如和缠绕，才能使所用的布条长度最小，即求?多大时，最省带子。此时，布条没有重叠，由管道侧面展开图，即 由图1知

W?C*sin?

C??*d

3.2若知道管道长度为L，则需用布条长度为L1。

在该问题中，当布条完全覆盖管道时，管道表面积（L*C）比带子总面积（L1*W）少W*C?W时，所需要的布条长度最短。

即

22[1]

L1*W?L*C?W*C2?W2

C??*d

4模型求解

/C??*d时，使所用的布条长度4.1 当 ??arcsin(W，

最小，即

W??arcsin

?*d4.2当管道长度为

W*C2?W2?L*CL，需用带子长度为L1?W，

C??*d，即

W*?2*d2?W2??*L*d L1?

W5推广：若管道截面积为正方形时

5.1 合理假设

5.11管道是直的，横截面为正方形； 5.12管道粗细一样； 5.13管道外表面光滑； 5.14带子宽度一样； 5.15包扎时带子没有重叠； 5.16变量限定

W

：带子的宽度

L：管道长度

C：管道横截面周长 d：管道的横截面边长

?：布带与管道的缠绕角度，见图1

5.2 模型构建

布条没有重叠，缠绕角度为?时，才能使所用的布条长度最小，由图1知

W?C*sin?

此时，当管道长度为L，需用带子长度为L1，管道表面积与带子总面积存在一定的关系，即

L1*W?L*C?W*C2?W2

其中 ， C?4*d

5.3 模型求解 当缠绕角度??arcsinW时，所用的布条长度最小。 4*d当管道长度为L，需用带子长度为L1为

W*16*d2?W2?4*L*dL1?

W参考文献

[1] 陈汝栋,于延荣.数学模型与数学建模(第2版)[M].北京:国防工业出版社.2009.