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包扎管道模型
摘要:在研究布条缠绕圆形管道问题时,易知在管道足够长时,布条重叠的面积越少,能使所用的布条长度越少。故包扎管道时带子没有重叠,且当达到一定的缠绕角度时,就能使所用的布条长度最小。故可建立覆盖模型,根据管道侧面展开图,利用正弦定理,从而得到一个最省带子的缠绕方式。而此时,管道表面积与带子总面积存在一定的关系,故可根据这种关系求出需用多长布条才能全部包住管道。 关键词:覆盖模型,三角关系,面积关系,缠绕角度 1 提出问题
用宽为W的布条缠绕直径为d的圆形管道,如果用布条全部包住管道,当布条的缠绕角度为?时,才能使所用的布条长度最小。若知道管道长度为L,则需用带子长度为L1。 2 合理假设
2.1管道是直的,圆的; 2.2管道粗细一样且足够长; 2.3管道外表面光滑; 2.4带子宽度一样; 2.5包扎时带子没有重叠; 2.6变量限定
W:带子的宽度
L:管道长度
C:管道横截面周长
d:管道的直径
?:布带与管道的缠绕角度,见图1
3 模型构建
当布条完全覆盖管道时,可按照布条的缠绕方式将管道展开,得到图1
[1]。
图1管道侧面展开图
3.1布条应该如和缠绕,才能使所用的布条长度最小,即求?多大时,最省带子。此时,布条没有重叠,由管道侧面展开图,即 由图1知
W?C*sin?
C??*d
3.2若知道管道长度为L,则需用布条长度为L1。
在该问题中,当布条完全覆盖管道时,管道表面积(L*C)比带子总面积(L1*W)少W*C?W时,所需要的布条长度最短。
即
22[1]
L1*W?L*C?W*C2?W2
C??*d
4模型求解
/C??*d时,使所用的布条长度4.1 当 ??arcsin(W,
最小,即
W??arcsin
?*d4.2当管道长度为
W*C2?W2?L*CL,需用带子长度为L1?W,
C??*d,即
W*?2*d2?W2??*L*d L1?
W5推广:若管道截面积为正方形时
5.1 合理假设
5.11管道是直的,横截面为正方形; 5.12管道粗细一样; 5.13管道外表面光滑; 5.14带子宽度一样; 5.15包扎时带子没有重叠; 5.16变量限定
W
:带子的宽度
L:管道长度
C:管道横截面周长 d:管道的横截面边长
?:布带与管道的缠绕角度,见图1
5.2 模型构建
布条没有重叠,缠绕角度为?时,才能使所用的布条长度最小,由图1知
W?C*sin?
此时,当管道长度为L,需用带子长度为L1,管道表面积与带子总面积存在一定的关系,即
L1*W?L*C?W*C2?W2
其中 , C?4*d
5.3 模型求解 当缠绕角度??arcsinW时,所用的布条长度最小。 4*d当管道长度为L,需用带子长度为L1为
W*16*d2?W2?4*L*dL1?
W参考文献
[1] 陈汝栋,于延荣.数学模型与数学建模(第2版)[M].北京:国防工业出版社.2009.
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