【优化方案】2020高中数学 第3章3.3 知能优化训练 苏教版选修1-2.doc

[学生用书 P44]

1．若复数(m－3m－4)＋(m－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值为________．

2

解析：由题意知m－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1. 答案：4或－1

2．已知0

22

解析：|z|＝a＋1，∵0

2

∴1

2

3．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于第________象限．

3

解析：复数z在复平面上对应的点为Z(3m－2，m－1)．

2

由于＜m＜1，得3m－2＞0，m－1＜0，

3

所以点Z位于第四象限． 答案：四

4．若z＋|z|＝2，则复数z＝________. 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，

22

∴z＋|z|＝a＋bi＋a＋b＝2，

2

2

?a＋a2＋b2＝2∴??b＝0

答案：1

，∴a＝1，b＝0，∴z＝1.

一、填空题

22

1．若复数z＝(a－2a)＋(a－a－2)i在复平面内对应的点在虚轴上，则实数a满足________．

2

解析：由题意知，a－2a＝0，∴a＝0或a＝2. 答案：a＝0或a＝2

i

2．复数z＝在复平面上对应的点位于第________象限．

1＋iii1i11

解析：＝(1－i)＝＋，以x轴为实轴，y轴为虚轴，则对应坐标为(，)，在第

1＋i22222

一象限．

答案：一

a＋i

3．(2011年高考辽宁卷改编)a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a＝________.

i

a＋i2

解析：||＝|1－ai|＝a＋1＝2，∴a＝±3.而a是正实数，∴a＝3.

i

答案：3 4．已知复数z＝

3＋i1－3i

2

，则|z|等于________．

3＋i3＋i123－2ii－31

解析：z＝＝－＝－×＝，|z|＝. 2

24421＋3i－23i2＋23i

1答案： 2

5．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A、B.若C为线段AB的中点，则

点C对应的复数是________．

解析：A(6,5)，B(－2,3)，C(2,4)， ∴C对应的复数为2＋4i. 答案：2＋4i

2－i

6．(2011年高考山东卷改编)复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限

2＋i

为________．

2

2－i2－i4－4i－134

解析：∵z＝＝＝＝－i，

2＋i2＋i2－i555

34

∴复数z对应的点的坐标为(，－)，在第四象限．

55

答案：第四象限

→

7．在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1－2i，若点A关于直线y＝－x的对

→

称点为B，则向量OB对应的复数为________．

→

解析：由题意知A(－1，－2)，则B(2,1)，故向量OB对应的复数为2＋i. 答案：2＋i

8．复平面内长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C所对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，则点D对应的复数是________．

→→→

解析：设点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，由题意知AB＝DC，又AB对应的复数为1－i，→

DC对应的复数为(－2－x)＋(－3－y)i，所以－2－x＝1，－3－y＝－1.

所以x＝－3，y＝－2.所以点D对应的复数为－3－2i. 答案：－3－2i

9．已知z1，z2为复数，且|z1|＝1，若z1＋z2＝2i，则|z1－z2|的最大值是________． 解析：

由z1＋z2＝2i得z1＝2i－z2，代入|z1|＝1得|2i－z2|＝1，

∴|z2－2i|＝1，即z2轨迹是以(0,2)为圆心、1为半径的圆(如图)．又z1轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆，则|z1－z2|为两圆上点的距离，最大值为4.

答案：4 二、解答题

22

10．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m＋5m＋6)＋(m－2m－15)i，(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)对应点在x轴上方；(5)对应点在直线x＋y＋5＝0上．

2

解：(1)由m－2m－15＝0， 得m＝5或m＝－3，

即当m＝5或m＝－3时，z为实数．

2

(2)由m－2m－15≠0， 得m≠5且m≠－3，

即当m≠5且m≠－3时，z为虚数．

2??m－2m－15≠0，(3)由?2得m＝－2，

?m＋5m＋6＝0，?

即当m＝－2时，z为纯虚数．

2

(4)由m－2m－15>0， 得m<－3或m>5，

即当m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方．

22

(5)由(m＋5m＋6)＋(m－2m－15)＋5＝0，

－3－41－3＋41得m＝或m＝，

44

－3－41－3＋41

即当m＝或m＝时，z的对应点在直线x＋y＋5＝0上．

44

3

11．已知复数z1＝i(1－i)， (1)求|z1|；

(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．

3

解：(1)z1＝i(1－i)＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，

22

∴|z1|＝2＋－2＝22. (2)法一：∵|z|＝1， ∴设z＝cosθ＋isinθ，

|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|

22

＝cosθ－2＋sinθ＋2

π

＝ 9＋42sinθ－.

4

π2

当sin(θ－)＝1时，|z－z1|取得最大值9＋42，从而得到|z－z1|的最大值为22＋

41.

法二：

|z|＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点(2，－2)， ∴|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点距离最大，由图可知|z－z1|max＝22＋1.

12．设复数z满足|z|＝5，且(3＋4i)z在复平面上对应点在第二、四象限的角平分线上，|2z－m|＝52(m∈R)，求z和m的值．

22

解：设z＝a＋bi(a、b∈R)．∵|z|＝5，∴a＋b＝25. 而(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i，

又∵(3＋4i)z在复平面上对应点在第二、四象限角平分线上， ∴3a－4b＋4a＋3b＝0，得b＝7a.

272

∴a＝±，b＝±，

22

即z＝±(272

＋i)． 22

∴2z＝±(1＋7i)．

当2z＝1＋7i时，有|1＋7i－m|＝52，

22

即(1－m)＋7＝50，得m＝0，或m＝2.

当2z＝－(1＋7i)时，同理，可得m＝0或m＝－2.