五年级上册奥数讲义

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一、知识要点

1. 最小公倍数与最大公因数之间的关系

定理一：两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。 即：如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）=1

定理二：两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。 即：[a，b]×（a，b）=a×b

定理三：两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数 二、典型例题详解

【例1】甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，求乙数。 解：设乙数是a 36×a=4×288 a=4×288÷36 a=32 答：乙数是32。

【练一练】甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90，且小数不能整除大数，求这两个数。

【例2】已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？ 解：设这两个数分别为a、b 126÷21=6

6=3×2 或 6=1×6 a=3×21=63 a=1×21=21

b=2×21=42 b=6×21=126 63+21=84 21+126=147 答：这两个数的和是84或147。

【练一练】两个自然数的和是56，它们的最大公因数是7，求这两个数。

【例3】两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5， 【练一练】已知两个自然数的积是5766，它们的最

求这两个数的差。 大公因数是31，求这两个数。

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解：设这两个自然数分别是5a、5b ∵5a+5b=50 ∴a+b=10 ∵(a，b)=1且a+b=10

∴｛ba??19或｛ab??37

当｛ba??91时，5a=5，5b=45 5b-5a=40 当｛ab??37时，5a=15，5b=35 5b-5a=20

答：这两个数的差是40或20.

【例4】两个自然数的和是54，它们的最小公倍数与最大公因数的差是114，求这两个自然数。 解：设这两个数是A、B 。且A=am；B=bm ∵A+B=54 ，则am+bm=54 ∴m(a+b)=54 ∵(A、B)=m；

a、b为A、B两数的非有公因数，(a、b)=1

∴[A、B]=m×a×b

∵[A、B]－(A、B)=114，则m×a×b－m=114 ∴m(ab－1)=114

∵m(a+b)=54且m(ab－1)=114 则m是54和114的公因数 又∵（54，114）=6，6=1×6=2×3 ∴m=1或m=6或m=2或m=3 如果m=1，则1×(a+b)=54，a+b=54； 1×(ab－1)=114，ab=115 ∵115=1×115或115=5×23 ∵115+1≠54 且5+23≠54 ∴m≠1

如果m=6，则6×(a+b)=54，a+b=9； 6×(ab－1)=114，ab=20 ∵(a、b)=1，则20=1×20或20=4×5 ∵1+20≠9，4+5=9 则m=6，a=4，b=5；

∴A=4×6=24，B=5×6=30

如果m=2，则2×(a+b)=54，a+b=27 2×(ab－1)=114，ab=58

∵(a、b)=1，则58=1×58或58=2×29 ∵1+58≠27且2+29≠27 ∴m≠2

三、课后作业

（1）某数与24的最大公因数是4，最小公倍数是168，

（接【例4】）

如果m=3，则3×(a+b)=54，a+b=18 3×(ab－1)=114，ab=39

∵(a、b)=1，

则是39=1×39或58=3×13 ∵1+39≠18且3+13≠16 ∴m≠3

答：这两个自然数是24和30。

【练一练】两个数的差是4，最大公因数与最小公倍数的积是252，求这两个数。

2）已知两个自然数的最大公因数为4，最小公倍

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这个数是多少？

（3）两个数的和是70，它们的最大公因数是7，求这两个数的差是多少？

（5）两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求两个数的和。

（7）两个数的最大公因数是12，最小公倍数是72，这两个数的和是多少？

（8）两个自然数的差是3，它们的最大公因数与最小公倍数的积是180，求这两个数。

数为120，求这两个数。

（4）已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，求这两个数。

（6）已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为450，求这两个自然数。

复习练习 第2课

（1）有一种地砖，长20厘米，宽15厘米，至少需

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要多少块这样的地砖才能拼成一个实心的正方形？

（2）一箱鸡蛋，四个四个数多3个，五个五个数多4个，七个七个数多6个，这箱鸡蛋至少有多少个？

（10）已知a与b、a与c的最大公因数分别是12和15，a、b、c的最小公倍数是120，求a、b、c。

（3）有一个班的同学包车旅游，如果增加一辆车，正好每辆车坐10人，如果减少一辆车，正好每辆车坐15人，这个班共有多少人？

（4）一条路长96米，从一端起，每隔4米栽一棵树（路两旁都栽）。现要再每隔6米栽一棵，已栽上的地方不用重栽，这条路上共需新栽多少棵树？

第二讲 图形的面积