五年级上册奥数讲义

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第一讲 整数问题 第2课 倍数与因数（一）

一、知识要点 1. 质数与合数

质数：一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数。（素数）

合数：一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。

1不是质数，也不是合数。

2. 质因数与分解质因数

质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：30分解质因数。

解：30=2×3×5 答：2、3、5是30的质因数。

?分解质因数的方法：可以用短除式来求质因数

?100以内的质数（要会背的）：

2、3、5、7、

11、13、 17、19、 23、29、 31、37、

41、43、 47、 53、59、 61、67、

71、73、 79、 83、89、 97.

3. 公因数与公倍数

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公因数：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数。

公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。

一个数的因数的个数是（ ）的，倍数的个数是（ ）的。 几个数的公因数的个数是（ ）的，公倍数的个数是（ ）的。

4. 最大公因数与最小公倍数

最大公因数：在几个自然数的公因数中，最大的一个称为这几个数的最大公因数。 a、b的最大公因数=(a，b)

最小公倍数： 在几个自然数的公倍数中，除零外最小的一个称为这几个数的最小公倍数。 a、b的最小公倍数=[a、b] 1 8 9 3

3 0 15 5

用公有的质因数2除 用公有的质因数3除 除到两个商是互质数为止

（18，30）=2×3=6 [18，30]=2×3×3×5=90 二、典型例题详解

【例1】五年级三个班分别有30、24、42人参加课外科技活动，现在要把参加的人分成人数相等的小级，并且各班同学不能打乱，那么每组最多多少人？一共可以分成多少个小组？

解： 30=2×3×5 24=2×3×2×2 42=2×3×7

（30，24，42）=2×3=6（人） 30÷6=5（个）

24÷6=4（个） 42÷6=7（个） 5＋4＋7=16（个）

答：每组最多可以分6人，一共可以分16个组。

【例2】有一种长16厘米，宽12厘米的塑料扣板，如果用这种扣板拼成一个正方形，最少需要多少块？

用短除法计算： 2 3

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解：16=2×2×2×2 12=2×2×3

[16，12]=2×2×2×2×3 =48（厘米） 48÷16=3（块） 48÷12=4（块） 3×4=12（块） 答：最少需要12块扣板。

用短除法计算： 【例3】甲对乙说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”求出甲、乙现在的年龄。

解：∵甲现在的年龄是乙的7倍，则甲的年龄比乙大6倍； ∵当甲的年龄是乙的6倍时，则甲的年龄比乙大5倍； ∵当甲的年龄是乙的5倍时，则甲的年龄比乙大4倍； ∵当甲的年龄是乙的4倍时，则甲的年龄比乙大3倍； ∵当甲的年龄是乙的3倍时，则甲的年龄比乙大2倍； ∵当甲的年龄是乙的2倍时，则甲的年龄比乙大1倍；

∴甲、乙的年龄差是6、5、4、3、2的公倍数。 [6，5，4，3，2]=6×5×4×3×2=60（岁） 60÷（7-1）=10（岁） 10+60=70（岁）

答：甲的年龄是70岁，乙的年龄是10岁。

【例4】写出三个小于20的自然数，它们的最大公因数为1，但两两均不互质，共有几组?

解：假设这三个数分别是a、b、c

∵a、b、c两两不互质，且a＜20，b＜20，c＜20，

则两两间的质因数互不相同且乘积小于20 （a，b）=2或（a，b）=3 或（a，b）=5； （a，c）=2或（a，c）=3 或（a，c）=5； (b，c）=2或 (b，c）=3 或 (b，c）=5；

∴a，b，c三数有可能是2×3=6，2×5=10，3×5=15，2×6=12，3×6=18。 又 ∵（a，b，c）=1；

（6，10，15）=1；（10，15，12）=11；（10，15，18）=

答：共有三组，分别是（6、10、15），（10、12、15），（10、15、18）。 三、课后习题

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1. 求56，36，284的最小公倍数。

3. 三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别为半分钟、45秒钟、1分15秒。三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次在起点相会？

5. 把一张长120cm，宽80cm的长方形纸裁成同样大小的正方形(纸不能有剩余)，至少能裁成多少张这样的正方形纸，每张裁成的纸是多大？

2. 有336个苹果、252个梨子、210个桔子，用这三种水果最多可以分成多少份相同的礼物？每份礼物中，三种水果各占多少？

4. 有一个表，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃。中午12点时既亮灯又响铃。下次既亮灯又响铃在几点？

6. 用一个数去除31，61，76都余1，这个数最大是多少？

第3课 倍数与因数（二）