排列组合习题1

解析 设学习用品为a1，a2，生活用品为b1，b2，娱乐用品为c，则结果有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，b1)(a2，b2)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，c)，(b2，c)，共10种．

14．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有________个． 答案 162

解析 一位数8个，两位数8×9＝72个． 3位数

1 × × 有9×9＝81个， 另外

2 × × 1个(即200)，

共有8＋72＋81＋1＝162个．

15．某工厂的三个车间的工人举行了劳动技能比赛活动，第一车间有2人胜出，第二车间有3人胜出，第三车间有2人胜出，厂长要求每个车间选出一人进入厂技能领导小组，有多少种不同的选法？

解析 (定义法)本题可分三步完成．第一步，从第一车间中选1人有2种选法；第二步，从第二车间中选1人有3种选法；第三步，从第三车间中选1人有2种选法，根据分步乘法计数原理知一共有N＝2×3×2＝12种选法．

16．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元的单片软件和70元的盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．则不同的选购方式共有多少种？

解析 可设购买60元的单片软件和70元的盒装磁盘分别为x片、y盒，依照所用资金不超过500元，来建立数学模型，从而解决问题．

设购买单片软件x片，盒装磁盘y盒，则依题意有60x＋70y≤500(x，y∈N*，且x≥3，y≥2)，按购买x片分类：

x＝3，则y＝2,3,4，共3种方法； x＝4，则y＝2,3，共2种方法； x＝5，则y＝2，共1种方法； x＝6，则y＝2，共1种方法． 依分类计数原理不同的选购方式有 N＝3＋2＋1＋1＝7(种)． 答：不同的选购方式有7种．

点评 本题主要考查分类计数原理的灵活运用，在解题中要特别注意知识的联想和应用．

17．(2015·武汉高二检测)有9名乒乓球运动员，其中有6名只会用右手打球，有2名只会用左手打球，还有1名既会用右手打球，也会用左手打球，现要从中选出2名运动员，要求会用右手打球的和会用左手打球的各1名，求共有多少种不同的选法．

解析 记左右手都能打球的运动员为A.当A不被选中时，有6×2＝12(种)选法；当A被选中时，有6＋2＝8(种)选法．根据分类加法计数原理得共有12＋8＝20(种)选法．

1．如下图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字，表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的网线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为________．

答案 19

解析 因信息可以分开沿不同的路线传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种办法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19.

2．圆周上有2n个等分点(n大于2)，任取3点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为________．

答案 2n(n－1) 解析

这2n个等分点可确定n条直径，每条直径可确定(2n－2)个直角三角形，∴共有n(2n－2)＝2n(n－1)个直角三角形．

3．电视台在“快乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？

解析 抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑．

分两大类：

(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果；

(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果． 因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．