2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：1.1.1命题 Word版含解析

1．1 命题及其关系

第一课时 命题

填一填

1.命题的定义

一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．命题的形式

在本章的学习中，我们只讨论具有“若p，则q”这种形式的命题，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 判一判 1.语句“给我们把门打开！”是命题．(×) 2．语句“陈述句都是命题”不是命题．(×) 3．命题“实数的平方是非负数”是真命题．(√)

4．“平行四边形的对角线互相平分”可以看作是“若p，则q”形式的命题．(√) 5．语句“求证2是无理数”不是命题．(√) 6．“x2＋1>0(x∈R)”是命题．(√) 7．“6x≤9”不是命题．(√)

8．“若a与b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题．(×) 想一想 1.如何判断一个语句是否为命题？ 判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．

2．判断命题真假的方法有哪些？ (1)直接法

数学中的定义、公理、公式、定理等都是真命题，它们是判断一个命题是否为真命题的依据．

(2)举反例法

通过构造反例来否定一个命题的正确性，是判断一个命题为假命题的常用方法． (3)特例法

特殊化思想是一种重要的数学思想，对于有些判断真假的问题，通过构造符合条件的函数往往能化抽象为具体，从而简便解题．

3．判断“若p，则q”命题真假的步骤是什么？ (1)明确命题中的条件p与结论q.

(2)若判断一个命题为真命题，需依据数学中的定义、公理、定理、公式等给出充分的证明；若判断一个命题为假命题，只需用一个反例检验即可．

思考感悟：

练一练

1．下列语句中是命题的是( ) A．函数y＝x3－x是奇函数吗？ B．3∈{1,2,3,4} 11C.< ab

D．求方程log3x＋2＝0的根

解析：A是疑问语，不是命题；B是命题；C无法判断真假，不是命题；D不是陈述语，不是命题．

答案：B

2．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是( ) A．余弦值 B．第二象限

C．一个角是第二象限角 D．没有条件

解析：命题可改写为“若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0”． 答案：C

3．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是( ) A．这个数能被2整除 B．这个数能被3整除

C．这个数既能被2整除，也能被3整除 D．这个数是6的倍数

解析：命题可改为“若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除”． 答案：C

4．下列命题属于假命题的是( ) A．若ac2>bc2，则a>b B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若x∈R，则x2＋x＋1>0 D．函数y＝sin x是周期函数

解析：B中，若a＝2，b＝－2，则|2|＝|－2|，但是2≠－2，B为假命题． 答案：B

知识点一

1．下列语句中，是命题的是________．

①作射线AB. ②中国领土不可侵犯！ ③当x≤1时，x2－3x＋2≤0. 解析：③是陈述句，并能判断真假，是命题．①②不是陈述句，不是命题． 答案：③

命题的概念

2．下列语句不是命题的是________．

①你喜欢鲁迅的作品吗？ ②斜率相同的直线平行． ③向抗洪英雄致敬！ ④x<－3或x>3. ⑤5≥5.

解析：①是疑问句，不是命题．②是命题．③是感叹句，不是命题．④无法判断真假，不是命题．⑤是命题．

答案：①③④ 知识点二 3.下面命题中是真命题的是( ) A．函数y＝sin2x的最小正周期是2π B．等差数列一定是单调数列 C．直线y＝ax＋a过定点(－1,0)

→→

D．在△ABC中，若AB·BC>0，则B为锐角

命题真假的判断 1－cos 2x解析：y＝sin2x＝，最小正周期为π，A是假命题．等差数列公差为0的时候，

2

→→→→

不是单调数列，B为假命题．C为真命题．△ABC中，若AB·BC>0，则向量AB与BC所成的角为锐角，即B为钝角，D为假命题．

答案：C

4．下列命题为假命题的是( )

A．△ABC中，若sin A>sin B，则A>B B．若|a|＝|b|，则a＝b

11

C．若＝，则a＝b

ab

D．x2－x＋1>0

ab

解析：△ABC中，由正弦定理可知，>，a>b，则A>B.A为真命题．若|a|＝|b|，则a

2R2R与b的模相等，但方向不确定，a与b不一定相等，B为假命题，C、D均为真命题．

答案：B

知识点三 命题的结构形式 5.指出下列命题的条件p和结论q： (1)若x＋y为有理数，则x，y也都是有理数； (2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0.

解析：(1)条件p：x＋y为有理数，结论q：x，y也都是有理数． (2)条件p：x＝3或x＝7，结论q：(x－3)(x－7)＝0.

6．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假． (1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等； (2)负数的立方是负数；

(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.

解析：(1)若一个多边形是正n边形(n≥3)，则这个正n边形的n个内角全相等．此命题是真命题．

(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数．此命题是真命题． (3)已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2.此命题是假命题. 综合应用 7.设集合A＝{x|x2－6x－7<0}，B＝{x|x≥a}，现有下面四个命题： p1：存在a∈R，使A∩B＝?；

p2：若a＝0，则A∪B＝(－7，＋∞)； p3：若?RB＝(－∞，2)，则a∈A；

p4：若a≤－1，则A?B. 其中为真命题的是( ) A．p1，p4 B．p1，p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p2，p4

解析：集合A＝{x|x2－6x－7<0}＝{x|－1

对于命题p2，当a＝0时，B＝{x|x≥0}，∴A∪B＝{x|x>－1}＝(－1，＋∞)，∴p2是假命题．

对于命题p3，若?RB＝(－∞，2)， 则a＝2，则a∈A，p3是真命题．

对于命题p4，若a≤－1，在数轴上把集合A，B表示出来，如图所示，

由图易知A?B，∴p4是真命题．

综上，四个命题中为真命题的是p1，p3，p4. 答案：B

8．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝?”是假命题，求实数m的取值范围．

解析：因为命题“A∩B＝?”是假命题，所以A∩B≠?. 设全集U＝{m|(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，

??3???m≤－1或m≥则U＝m?2?. ?

假设关于x的方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负， m∈U，??

则?x＋x≥0，??xx≥0，

1

212

m∈U，

??

所以?4m≥0，

??2m＋6≥0，

3

解得m≥.

2

?3?

m≥?关于全集U的补集是{m|m≤－1}，又因为集合?m?所以关于x的方程x2－4mx＋2m2?

?

?

＋6＝0至少有一个负根时，m≤－1.

所以A∩B≠?时，实数m的取值范围是{m|m≤－1}．

基础达标 一、选择题

1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多彩撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，可以作为命题的是( )

A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思

解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命