高考数学大一轮复习第七章第三节空间点直线平面之间的位置关系教师用书理42

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4．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断：①MN≥2(AC＋BD)；111

②MN>2(AC＋BD)；③MN＝2(AC＋BD)；④MN<2(AC＋BD)。其中正确的是________。

【解析】 如图，取BC的中点O，连接MO，NO， 11

则OM＝2AC，ON＝2BD，

1

在△MON中，MN

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考点一 平面的基本质及应用 【典例1】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点，求证：

(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点。

【证明】 (1)如图，连接CD1，EF，A1B，

∵E，F分别是AB和AA1的中点， 1

∴EF∥A1B且EF＝2A1B。 又∵A1D1綊BC，

∴四边形A1BCD1是平行四边形。 ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF与CD1确定一个平面α。

∴E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面。 1

(2)由(1)知，EF∥CD1，且EF＝2CD1， ∴四边形CD1FE是梯形， ∴CE与D1F必相交。设交点为P，

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则P∈CE?平面ABCD， 且P∈D1F?平面A1ADD1，

∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1。 又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD， ∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点。

反思归纳 1.证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合。

2．证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上。

3．证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点。 【变式训练】 (1)(2016·上海闵行区调研)已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，

B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点。求证：D1，H，O三点共线。

【解析】 (1)若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，但直线AC和BD平行时，

A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件。

(2)证明：连接BD，B1D1，如图。 则BD∩AC＝O， ∵BB1綊DD1，

∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，

B1D?平面BB1D1D，

则H∈平面BB1D1D，又H?平面ACD1， ∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1。 即D1，H，O三点共线。 【答案】 (1)A (2)见解析 考点二 角度一：平行与相交的判定 【典例2】 (1)(2017·济南模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，

空间两条直线的位置关系……多维探究 鼎尚出品

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AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是( )

A．相交但不垂直 C．异面

B．相交且垂直 D．平行

(2)(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )

A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交

【解析】 (1)连接D1E并延长，与AD交于点M， 因为A1E＝2ED，可得M为AD的中点， 连接BF并延长，交AD于点N， 因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，

ME1MF1

所以M，N重合，且ED1＝2，BF＝2， MEMF所以ED1＝BF，所以EF∥BD1。故选D。

(2)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交。故选D。

【答案】 (1)D (2)D 角度二：异面直线的判定

【典例3】 在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线

GH，MN是异面直线的图形有________。(填上所有正确答案的序号)

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【解析】 图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M?面GHN，因此直线

GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H?面GMN，因此GH与MN异面。所以在图②④中，GH与MN异面。

【答案】 ②④

反思归纳 1.线线平行或垂直的判定方法

(1)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断。

(2)对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直。 2．异面直线的判定方法

(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面。

(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线。 【变式训练】 (1)(2016·福州质检)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

(2)(2016·浙江金丽衢联考)已知a，b，c为三条不同的直线，且a?平面α，b?平面

β，α∩β＝c。

①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交； ②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直； ③若a∥b，则必有a∥c； ④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β。 其中正确命题的个数是( ) A．0 C．2

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B．1 D．3