群的不可约表示

?e?i??(1)D??,0,0???0?0?0100??0? i?e??1?1???0??22????i?00???1则

MD(1)??,0,0?M?1??i??0?ie??10??2??0?22??0????00ei?????1???010????2?01??i???1ie?i??22????e20?????i0?i???2????22?001???i??iei?? ??010??e????220????ei??e?i?i??ie?e?i??220??i??i?i??i?????ie?ee?e?0?? ?22???001?????cos??sin?0????sin?cos?0??

???Rz???001??同样的方法可以证明:

MD(1)?0,?,0?M?1?Ry???

其中

?1?cos???sin?1?cos???222??

D(1)(0,?,0)??sin??cos??sin??

?22???1?cos?sin?1?cos????222?? 9

i20??01?? i?20??? 对于任意的旋转，

?cos??Ry????0???sin??010sin???0 ?cos???R(?,?,?)?Rz(?)Ry(?)Rz(?)

?MD ?MD(1)(1)(?,0,0)M(?,0,0)D?1(1)MD(1)(0,?,0)M(1)?1MD(1)(?,0,0)M?1

(0,?,0)D(?,0,0)M?1容易证明：

D(1)(?,0,0)D(1)(0,?,0)D(1)(?,0,0)?D(?,?,?)M(1)(?,?,?)

R(?,?,?)?MD(1)?1

即自身表示R??,?,??与D(1)??,?,??等价. 所以R??,?,??与D(1)??,?,??是同一表示在不同坐标系下的不同表示形式. R??,?,??是在直角坐标系下的形式，而

flm??1,?2?l?1D(1)??,?,??是在坐标基矢为的坐标系中的表示形式. 其

?f??1,?11,?2?,f1,0??1,?2?,f1,1??1,?2??中

flm??1,?2?由§5.3

节（3）式定义为：

flm??1,?2???1l?m?2l?m?l?m?!(l?m)!.

由(2)式知，绕y轴转动的表示矩阵元为：

1dm?m???l???D(l)m?m?0,?,0?????1?kk?(l?m)!(l?m)!(l?m)!(l?m)!?2??k!(l?m?k)!(l?m?k)!?m?m?k?!''2l?m?m??2k''? (10)

(cos?l?12?)(?sin12?)m??m?2kd(?)是群元素Ry(?)?SO(3)的表示矩阵. d?l?(?)具有明显的一些对称性，例如：

(1)

?m?m(?)?d?m?m?(?).

?l??l? 10

(2)(3) (4)

dm?m(?)???1??l??l?l?m?m'dmm?(?).

?l?dm?m(??)?dmm?(?)dm?m(???)???1??l?.

'l?mdm??m(?).?l?

如，由(10)式知：

1d?m,?m'?????l????1?kk?(l?m)!(l?m)!(l?m)!(l?m)!?2??k!(l?m?k)!(l?m?k)!??m?m?k?!''''?

1??cos???2??2l?m?m?2k'1???sin???2???m?m?2k'?dm'm???l??

显然d?l????与D(l)??,?,??之间有关系

Dm'm??,?,???dm'm???e(l)?l??im??m??'?.

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§5.5 标量场与旋量场及其变换算符

物理学中所涉及的物理量常常是在空间坐标转动变换下具有确定变换性质的量. 这些有确定变换性质的量有标量、旋量与矢量等.这里我们将从旋转群SO(3)的表示的角度出发来讨论它们.

在空间坐标作转动R?SO?3?时，一个物理量S，如果按SO?3?的表示D(0)(R)变换，即

SR?D?0??R?S?S， （1）

即S在空间坐标转动变换下是不变的，那么我们称S为空间转动变换下的标量.

如果一个物理量具有两个分量?(??1,?1)，在空间坐标作转动

22R?SO?3?时，它满足关系

1212??R?m??m???D12()?R?mm??m?，

(m,m???11,)， 22 （2）

则我们称之为旋量.

如果一个物理量具有三个分量a??a?1,a0,a1?，在坐标转动变换

R?SO?3?下，它满足关系

1??aR?m??m???1D?1??R?mm?am? ?m,m???1,0,1? （3）

如果上述标量、旋量和矢量本身又是空间坐标的函数，且它们在空间某区域内的每一点都具有确定的取值，则它们就分别被称为标量场、旋量场与矢量场.

??B??及矢势A??如静电场中的电势??r?是标量场，电磁场强E、

都是矢量场. 量子力学中的电子自旋波函数(二分量)是一

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