2010广东高考数学（理科A卷）试卷及各题详细解答（免费）

本试卷答案由广东实验中学龚寸章老师(nhgong@21cn.com)提供

∴QR||DG||EB.

由（1）知，BE?平面BDF，∴DG?平面BDF， 而DR?平面RQD，BD?平面BDF，

∴DG?DR,DG?DB，∴?RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角． 在Rt?BCF中，CF?BF2?BC2?(5a)2?a2?2a，

sin?RBD?由FR?FC2a212，cos?RBD?1?sin?RBD?． ??BF5a55215aFB知,BR?FB?,3335a25a1)?2?2a???33529a.3利用余弦定理:RD?BD2?BR2?2BD?BR?cos?RBD?(2a)2?(5aBRRD3利用正弦定理:?,即?sin?RDBsin?RBDsin?RDB故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为229.2929a3,?sin?RDB?229.2295

解法二：利用向量，请同学们自行完成.

19.（本小题满分12分） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

解：设应当为该儿童分别预订x个单位的午餐，y个单位的晚餐，所花的费用为z，则依题意得：

?12x?8y?64?3x?2y?16?0?6x?6y?42?x?y?7?0???? x,y满足条件?6x?10y?54即?3x?5y?27?0，

??x?Nx?N??y?Ny?N???? 目标函数为z?2.5x?4y，

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作出二元一次不等式组所表示的平面区域（图略），把z?2.5x?4y变形为y??5zx?，得到斜率为845z，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线。 845z 由图可知，当直线y??x?经过可行域上的点M(即直线x?y?7?0与直线3x+5y-27=0的交点)84时截距最小，即z最小. ??x?y?7?0 解方程组：?, 得点M的坐标为(4,3), 所以zmin?22

3x?5y?27?0?答：要满足营养要求，并花费最少，应当为该儿童分别预订4个单位的午餐，3个单位的晚餐，

所花的费用最少,且最少费用为22元.

x2?y2?1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,?y1)是双20.（本小题满分14分）已知双曲线2曲线上不同的两个动点.

（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程

（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1?l2，求h的值. 20.(本小题满分14分)

解:(1)A1,A2为双曲线的左,右顶点,?它们的坐标为A1(?2,0),A2(2,0).则A1P:y?y1?0x1?2(x?2),A2Q:y?2?y1?0x1?2(x?2),两式相乘得:y?22?y122x1?2(x2?2).[来 x1y1112x222?点P(x1,y1)在双曲线上,所以?y1?1,即2?,故y??(x?2),即?y2?1.222x1?22x2?y2?1(x?0,且x??2). 经检验,以上所得椭圆的四个顶点无法取到,故交点轨迹E的方程为2（2）设l1:y?kx?h(k?0)，则由l1?l2知，l2:y??1x?h. kx2x22?y?1得?(kx?h)2?1，即(1?2k2)x2?4khx?2h2?2?0， 将l1:y?kx?h代入222222若l1与椭圆相切,则??16kh?4(1?2k)(2h?2)?0，即1?2k?h;

22同理若l2与椭圆相切,则1?2?12?h. 2k由l1与l2与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况: [1]直线l1与l2都与椭圆相切,即1?2k?h,且1?2?从而h?1?2k?3，即h?3; 2010广东高考数学(理科) 第 6 页 共 8 页

22221122?h?k2，即k2?1， h,消去得22kk本试卷答案由广东实验中学龚寸章老师(nhgong@21cn.com)提供

[2]直线l1过点A1(?2,0),而l2与椭圆相切,此时k?(?2)?h?0,1?2?[3]直线l2过点A2(2,0),而l1与椭圆相切,此时?1?h2,解得h?1?17; 2k21?2?h?0,1?2k2?h2,解得h?1?17; k2[4] 直线l1过点A1(?2,0),而直线l2过点A2(2,0),此时k?(?2)?h?0,?1?2?h?0,?h?2.

k综上所述,h的值为2,3,1?17. 2（注：本题第(2)问中的“只有一个交点”不知命题的专家们指的是相交时的唯一交点还是把相切时的切点也当成是唯一的交点(严格地说,切点应该算做两个交点，只不过这两个交点重合而已)，如果本题指的是严格意义上的交点，那么上述解答中只需要第四种情况，也就就是说h只能取2这一个值. 如果本题将第(2)问中的“交点”改成“公共点”就不会有这种疑惑了.）

21.(本小题满分14分)

设A(x1,y2)，现定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B) B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点，为p(A,B)?|x2?x1|?|y2?y1|. 对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1,y2)，B(x2,y2), (1)若点C(x,y)是平面xOy上的点，试证明p(A,C)?p(C,B)?p(A,B); （2）在平面xOy上是否存在点C(x,y)，同时满足:

①p(A,C)?p(C,B)?p(A,B)； ② p(A,C)?p(C,B) 若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明.

21.(本题满分14分)

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证明:(1)依题意:?(A,C)??(C,B)?|x?x1|?|y?y1|?|x2?x|?|y2?y|,而|x?x1|?|x2?x|?|x?x1?x2?x|?|x2?x1|,等号当且仅当x?x1与x2?x同号时取得;又|y?y1|?|y2?y|?|y?y1?y2?y|?|y2?y1|,等号当且仅当y?y1与y2?y同号时取得.故|x?x1|?|y?y1|?|x2?x|?|y2?y|?|x2?x1||y2?y1|,即?(A,C)??(C,B)??(A,B),等号当且仅当x?x1与x2?x同号且y?y1与y2?y也同号时取得.(2)不失一般性,设x1?x2.[1]若y1?y2,假设这样的点存在,由(1)知,当?(A,C)??(C,B)??(A,B)时,x?x1与x2?x同号且y?y1与y2?y也同号,此时有:x1?x?x2且y1?y?y2,即点C的轨迹是以线段AB为对角线,且四边分别平行两坐标轴的矩形区域(含边界),(当y1?y2时点C的轨迹退化成线段AB).而根据C满足的第二个条件?(A,C)??(C,B)可得:|x?x1|?|y?y1|?|x2?x|?|y2?y|,考虑到x1?x?x2且y1?y?y2,去掉绝对值得x?x1?y?y1?x2?x?y2?y,即y??x?x1?x2y1?y2?,22设AB的中点为M(x0,y0),则y??x?x0?y0,显然AB的中点M(x0,y0)在该直线上,故满足条件的点存在,为线段y??x?x0?y0(x?[x1,x2],y?[y1,y2])上任意一点.(当y1?y2时,线段\退化\成一点(线段AB的中点),即此时满足条件的C点只有一个).

[2]同理,若y1?y2,假设这样的点存在,由C满足第一个条件,可得x1?x?x2且y2?y?y1,x1?x2y1?y2?,22设AB的中点为M(x0,y0),则y?x?x0?y0,显然AB的中点M(x0,y0)在该直线上,结合C满足的第二个条件可得y?x?故此时满足条件的点亦存在,为线段y?x?x0?y0(x?[x1,x2],y?[y1,y2])上任意一点.

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