高三圆锥曲线讲义

高三数学复习讲义—圆锥曲线

一、12考纲下载

（一）圆锥曲线

1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. 4.能用坐标法解决简单的直线与抛物线的位置关系等问题. 5.理解数形结合的思想. 6.了解圆锥曲线的简单应用.

二、考点回顾

Ⅰ.圆锥曲线的定义

1.椭圆的定义:平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a(大于做椭圆的焦点，两焦点的距离F1F2叫做椭圆的焦距.

提醒:①常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段 ②椭圆第一定义数学表达式:|PF1|?|PF2|?2a?2a?|F1F2|?. 例1(A).已知?ABC的顶点B,C在椭圆则?ABC的周长是 ( )

A.23 B.6 C.43 D.12 变式(A).把椭圆

x2)的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫

，当常数小于F1F2时，无轨迹；

x23?y?1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,

225?y216?1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,?,P7七个

点, 点F1是椭圆的一个焦点,则|P1F1|?|P2F1|???|P7F1|=______ 例2(B).已知F1、F2分别为椭圆

x2100?y264?1的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为?2,?6?，P为椭圆上的一个动

点，试分别求|PM|?|PF2|的取值范围.

变式1(B).(2011.南京模拟)已知F是椭圆5x?9y?45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A?1,1?是一定点.求

22|PA|?|PF|的最大值和最小值.

提醒:解与?PF1F2有关的问题(P为椭圆上的点)常用正弦定理或余弦定理,并且结合|PF1|?|PF2|?2a来求解. 2.双曲线的定义:平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(小于点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距. 提醒:①定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视. ②若2a＝|F1F2|，则轨迹是

.

③若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。④若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的

1

)的点的轨迹叫双曲线.这两个定

例3.过双曲线

x24?y23?1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M,N两点,F2为其右焦点,则

|MF2|?|NF2|?|MN|的值为

【提醒】涉及焦半径的问题,应考虑利用双曲线定义加以解决.使用定义时,要注意区分点在双曲线的那一支上,如果在右支上,则|PF1|?|PF2|?2a.如果在坐支上,则|PF2|?|PF1|?2a.

变式2. ?ABC的顶点A??5,0?、B?5,0?，?ABC的内切圆圆心在直线x?3上，则顶点C的轨迹方程式. 变式3.双曲线

x2n?y2?1?n?1?的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足PF1?PF2?2n?2，则?PF1F2的

面积为 1

3.抛物线的定义:平面上,到定直线与到该定直线外一点的距离相等的动点的轨迹叫做抛物线.

例4.（2008.辽宁）已知点P是抛物线y2?2x上的一个动点，则点P到点?0,2?的距离与点P到该抛物线的准线的距 离之和的最小值为 ( ) A.

172 B.3 C.5 D.xa2292

变式1.椭圆C1:?yb22左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的准线也为l，焦点为F2， ?1?a?b?0?的左准线为l，

|F1F2||PF1|?|PF1||PF2|? （ ）

记C1与C2的一个交点为P，则

A.

12 B.1 C.2 D.与a、b的值有关

Ⅱ.圆锥曲线的标准方程与几何性质（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

1.椭圆的方程与几何性质:

标准方程 xa22?yb22?1(a?b?0) ya22?xb22?1(a?b?0) 图 形 长、短轴 参数关系 焦点 焦距 性 质 范围 顶点 对称性 离心率 焦点在 轴上，焦点坐标 焦点在 轴上，焦点坐标 |x|?a,|y|?b 关于x轴、y轴和原点对称 |y|?a,|x|?b e?ca?(0,1)(e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。) 通径 焦半径范围

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|A1A2|?2ba2 a?c?|PF|?a?c 题型一:椭圆的标准方程

椭圆的标准方程有两种形式：①焦点在x轴上：

xa22?yb22?1?a?b?0?；②焦点在y轴上：

ya22?xb22?1?a?b?0?.

例5.方程Ax2?By2?C表示椭圆的充要条件是什么？

变式1.已知方程

例6.(1)根据下列条件，写出中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆方程：

① 离心率为

12x23?k?y22?k?1表示椭圆，则k的取值范围为

，长轴长为8；

② 经过点P??12??61??,Q?,,??；

?22??42????? ③ 焦点在轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近端点的距离 是10?

变式1(2009.辽宁模拟).已知椭圆C经过点A?1,??3??1,0?. ?,两个焦点为??1,0?、2?5.

(1)求椭圆C的方程;

(2)E、F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值.

提醒:①这里“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴.②若椭圆的焦点位置不明确,可设椭圆方程为 mx?ny?1?m?0,n?0,m?0?,或Ax?By?1?A?0,B?0?;③椭圆的两种标准方程中,焦点位

2222 置的决定:谁大在谁轴. ④椭圆的方程中,a,b,c三者中a最大,且满足a?b?c

题型二 椭圆离心率

在求解椭圆离心率取值范围时,一定要认真分析题设条件,合理建立不等关系,把握好椭圆的相关性质,记住常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题，尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等;在求解椭圆离心率时,两种

c方法:①直接求出a,c,由e?求e.②得到关于a,b,c的一个齐次式,然后求得e.

a1.直接根据题意建立a,c不等关系求解. 例7.已知椭圆e的取值范围.

xa22222?yb22?1?a?b?0?右顶点为A,点P在椭圆上,O为坐标原点,且OP垂直于PA,求椭圆的离心率

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变式1.椭圆G:x22ab心率e的取值范围.

2.运用数形结合建立a,c不等关系或等量关系求解.

?y22?1?a?b?0?的两焦点为F1??c,0?,F2?c,0?,椭圆上存在点M使F1M?F2M?0.求椭圆的离

例8.已知点A?0,b?,B为椭圆离心率为 ▲

变式1.若椭圆

x2xa22?yb22?1?a?b?0?的左准线与x轴的交点,若线段AB的中点C在椭圆上,则椭圆的

5?y2m?1的离心率e?105，则m的值是 变式2.如图，在平面直角坐标系xoy中，A1,A2,B1,B2为椭圆

xa22?yb22?1(a?b?0)的四个顶点，F为其右焦点，直

线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .

3.运用函数思想求解离心率 例9.设a?1,则椭圆

xa22?y22?a?1??1的离心率的取值范围是 ▲

4.运用判别式建立不等关系求解离心率 例10.在椭圆

题型三.与椭圆几何性质有关的问题 例11.我们把由半椭圆

222xa22?yb22?1?a?b?0?上有一点M,F1,F2是椭圆的两个焦点,若|MF1|?|MF2|?2b,求离心率.

2xa22?yb22?1(x?0)与半椭圆

yb22?xc22?1?x?0?合成的曲线称作“果圆”，其中

a?b?c,a?0,b?c?0.如图,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2是“果圆”与x,y轴的交点，M是线段A1A2的中点.

(1)若?F0F1F2是边长为1的等边三角形,求该“果圆”的方程；

yb22（2）设P是“果圆”的半椭圆

?xc22?1?x?0?上任意一点.求证:当|PM|取得最小值时,P在点B1,B2或A1处.

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