湖南省湘东六校2020届高三12月联考数学(理)试卷Word版含答案

生，求其中恰好有2名学生是课外体育达标的概率。

n(ad?bc)2参考公式：K?，其中n?a?b?c?d

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2参考数据：

P(K2?k0) 0.10 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 k0 2.706 1x2y220.（本小题12分）已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率e?，点A(b,0)，点B、F 分别为

2ab椭圆的上顶点和左焦点，且|BF|?|BA|?26. （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于G,H两点（G在M,H之间）设直线l的斜率k?0，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PG,PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围？如果不存在，请说明理由．

21.（本小题12分）已知函数f(x)?lnx?a2x?(a?1)x. 2(Ⅰ)当a?0时，求f(x)在区间(0,1]的最大值；

(Ⅱ)若函数g(x)?f(x)?x有两个极值点x1、x2(x1?x2),求证：g(x1)?g(x2)?

a?lna. 2

（二）选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分） 22.（本小题10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为??x?7?t(t为参数)．在以坐标原点为

?y??2?t极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：??42sin(??(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

?4).

(Ⅱ)设曲线C与直线l的交点为A,B,Q是曲线C上的动点，求?ABQ面积的最大值．

23.（本小题10分）已知函数f?x??|x?1|?|2x?a|,a?R. (Ⅰ)当a?3时，解不等式f?x???2；

(Ⅱ)当x?(??,1)时，f(x)?0恒成立，求a的取值范围.

湖南省湘东六校2020届高三12月联考

数学（理）试卷

一、选择题

AABDC CBCCB DA

二、填空题

13.

1722?5 14.2 15.? 16.?3 2262第15题：【解析】∵点P(x0,y0)在单位圆O上，且?xOP??，∴cos??x0，sin??y0， 又??(?3?4,?12?5)，且cos(??)??，则sin(??)?， 4413413??????72. )?]?cos(??)cos?sin(??)sin??44444426x0?cos??cos[(??三 解答题

17.解：（Ⅰ）由已知有Sn?Sn?1?1，?数列{Sn}为等差数列，且S1?a1?1，

?

Sn?n，即Sn?n2，…………………………………………………………3分

22当n?2时，an?Sn?Sn?1?n?(n?1)?2n?1，

又a1?1也满足上式，?an?2n?1；……………………………………………6分 （Ⅱ）由（1）知，bn?1111?(?)

(2n?1)(2n?1)22n?12n?1?Tn?1(1?1?1?1?????1?1)?1(1?1)?n，……9分

23352n?12n?122n?12n?1由Tn?22有n2?4n?2，有(n?2)?6，所以n?5， n?n的最小值为5.……………………………………………………………………12分 ?AC//OF， 18.解：（Ⅰ）依题意，在平面ADFC中，?CAO??FOD?60?，F又OF?平面OEF，?AC//平面OEF ①； 同理，在平面ABED中，?BAO??EOD?60?，

CAB?AB//OE，?AB//平面OEF ②；

OED?AB?AC?A,OE?OF?O,AB 面OEF，AC 面OEF，

OE?面OEF，OF?面OEF， 由①②可得，平面ABC//平面OEF.

又BC?面ABC，所以直线BC∥面OEF.…………………………………………5分 （本题可先证明BC//EF后得证；也可建立空间直角坐标系得证，请酌情给分。）

（Ⅱ）设OD的中点为G，以G为原点，GE、GD、GF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。易知， O(0,?1,0)，E(3,0,0)，F(0,0,3),D(0,1,0).……6分 设DM??DF，??[0,1].可得M(0,1??,3?)， 设n?(x,y,z)为平面MOE的法向量，

??n?OM?0?(2??)?y?3??z?0由?有?，可取n?(??,3?,??2)， ??n?OE?0?3x?y?0又面OED的法向量可取m?(0,0,1)，………………………………………8分

313|??2|?cos??|cos?m,n?|?所以，…………………10分 34?2?(??2)2所以(2??1)(??1)?0，又??[0,1]，???1。 2?存在满足条件的点M，M为DF中点。…………………………………12分

19.解：(Ⅰ)

男 女 合计 课外体育不达标 60 90 150 课外体育达标 30 20 50 合计 90 110 200 200?(60?20?30?90)2200≈6.060<6.635， ?K＝

150?50?90?110332所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.

…………………………………4分

（Ⅱ）易知，所抽取的10名学生中，男生为10?60?4名，女生为6名. 150321C6C6C411P(X?0)??P(X?1)??, 可取0,1,2,3.且,X33C106C102