留数定理的计算及应用

留数及其应用

摘 要 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用．

关键词 留数定理；留数计算；应用

引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．

一. 预备知识 孤立奇点

1．设f(z)在点a的某去心邻域内解析，但在点a不解析，

1sinz则称a为f的孤立奇点.例如，ez以z?0为孤立奇点.

zz以z?0为奇点，但不是孤立奇点，是支点.

11z点） sin以z?0为奇点（又由sin11?0，得z?(k??1,?2...,)故z?0不是孤立奇zk?2．设a为f(z)的孤立奇点，则f(z)在a的某去心邻域内，有称?cf(z)??c??c(z?a)，(z?a)(z?a)???nn??nnn?1n?0nn=1n为f(z)在点a的主要部分，称

?c(z?a)n?0n?n为f(z)在点a的正则部分，

当主要部分为0时，称a为f(z)的可去奇点；

c?(m?1)c?m当主要部分为有限项时，设为??(z?a)m(z?a)m?1?c?1(c?m?0) z?a称a为f(z)的m级极点；当主要部分为无限项时，称a为本性奇点.

二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义

设函数f?z?以有限点a为孤立点，即f?z?在点a的某个去心邻域

0?z?a?R内解析，则积分留数，记为：Resf?z?．

z?a1f?z?dz??:z?a??,0???R?为f?z?在点a的?2?i?2. 留数定理

介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：

??设D是由复周线C?C0?C1??C2所围成的有界连通区域，函数f?z???Cn_在D内解析，在D?D?C上连续，则?f?z?dz?0．

C定理1

?1?（留数定理） 设f?z?在周线或复周线C所范围的区域D内，除

_a1,a2,?,an外解析，在闭域D?D?C上除a1,a2,?,an外连续，则（ “大范围”积分） ?f?z?dz?2?i?Resf?z?． （1）

Ck?1z?akn证明 以ak为心，充分小的正数?k为半径画圆周?k:z?a??k（k?1,2,?,n）使这些圆周及内部均含于D，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得

C?f?z?dz???f?z?dz，

k?1?kn由留数的定义，有

?k?f?z?dz?2?iResf?z?．

z?akz?ak特别地，由定义得 ?f?z?dz?2?iRes，

?k代入（1）式得 ?f?z?dz?2?i?Resf?z?．

Ck?1z?akn定理2 设a为f?z?的n阶极点，

f?z????z??z?a?n，

其中??z?在点a解析，??a??0，则

Resf?z??z?a??n?1??a??n?1?!．

这里符号??0??a?代表??a?，且有??n?1???n?1??z?． ?a??limz?a推论3 设a为f?z?的一阶极点，??z???z?a?f?z?， 则 Resf?z????a?．

z?a推论4 设a为f?z?的二阶极点，??z???z?a?f?z?， 则 Resf?z???'?a?．

z?a2

3. 留数的引理

i?引理1 设f?z?沿圆弧SR:z?Re (?1????2，R充分大)上连续，且

R???limzf?z???于SR上一致成立(即与?1????2中的?无关)，则

R???SRlim?f?z?dz?i??2??1??．

引理2(若尔当引理) 设函数g?z?沿半圆周?R:z?Rei? (0????，R充分大)上连续，且limg?z??0在?R上一致成立，则

R???R????Rlim?g?z?eimzdz?0?m?0?．

引理3 (1)设a为f?z?的n阶零点，则a必为函数

?f'?z??Res???n； z?afz????f'?z?的一阶极点，并且 f?z?(2)设b为f?z?的m阶极点，则b必为函数

f'?z?的一阶极点，并且 f?z??f'?z??Res????m． z?b?f?z??

三. 留数的计算

1. 函数在极点的留数

法则1：如果z0为f(z)的简单极点，则

Res[f(z),z0]?lim(z?z0)f(z)

z?z0法则2：设f(z)?P(z)z0为Q(z)，其中P(z),Q(z)在z0处解析，如果P(z)?0，

Q(z)的一阶零点，则z0为f(z)的一阶极点，且

Res[f(z),z0]?P(z). Q?(z)法则3：如果z0为f(z)的m阶极点，则

1dm?1limm?1[(z?z0)mf(z)]. Res[f(z),z0]?（m?1）!z?z0dz2. 函数在无穷远点的留数

定理 1 如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）

为z1,z2,?zn,?，则f(z)在各点的留数总和为零.

关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.

11fz）,?]??Res[f()?2,0]. 法则 4： Res[（zzeiz例 1 求函数f(z)?在奇点处的留数． 21?z解 f(z)有两个一阶极点z??i，于是根据（6.5）得

P(i)eii Res(f,i)????

Q?(i)2i2e2