2014-2015学年高中数学 2.4.1抛物线及其标准方程课时作业 新人教A版选修2-1 (1)

△AOB的面积为A.1

,则p=( ) B.

C.2

D.3

【解题指南】画出图示,确定抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标,表示出△AOB的面积,然后求解. 【解析】选C.如图,A,B两点是双曲线的渐近线与抛物线y=2px(p>0)的准线的交点,其坐标分别为A(-,为b=

=

),B(-,-),故△AOB的面积

2

2

2

2

,又因为双曲线的离心率为2,即c=2a,由b=c-a得

a,所以p=2.

2

【变式训练】(2014·重庆高二检测)已知抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,P,Q为抛物线上两点,若△PQF为边长为2的正三角形,则p的值是( ) A.2±C.

±1

B.3±D.2

±1

【解析】选A.由题意得F,设P,

Q(y1≠y2).

由抛物线定义及|PF|=|QF|,

得+=+,

所以=,所以y1=-y2.

又|PQ|=2,因此|y1|=|y2|=1, 所以点P

.

+=2,所以得p=2±

2

又点P在抛物线上,于是由抛物线的定义得|PF|=.

,则

4.(2013·新课标全国卷Ⅰ)O为坐标原点,F为抛物线C:y=4△POF的面积为( ) A.2 B.2

x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4

C.2 D.4

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【解析】选C.设P(x1,y1),则|PF|=x1+=x1+=4

x1=4

×3

=24,得|y1|=2

=4,解得x1=3

×2

=2

.因为P为C上一点,则.

,所以S△POF=×

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.(2013·江西高考)抛物线x=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线等边三角形,则p= .

【解题指南】A,B,F三点坐标都能与p建立起联系,分析可知△ABF的高为p,可构造p的方程解决.

2

-=1相交于A,B两点,若△ABF为

【解析】由题意知△ABF的高为p,将y=-代入双曲线方程得A,B两点的横坐标为x=±ABF为等边三角形,所以

=tan60°,从而解得p=36,即p=6.

2

,因为△

答案:6

6.已知定点A(0,1),直线l1:y=-1,记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为 .

【解析】根据条件可知,动圆的圆心C到点(0,1)的距离与到直线y=-1的距离相等,所以满足抛物线的定义,这里=1,焦点为(0,1),所以动点C的轨迹方程为x=4y. 答案:x=4y

三、解答题(每小题12分,共24分)

7.(2013·福建高考)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为

,点C的坐标为

,分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为

2

2

A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点

.

求证:点的方程.

【解析】依题意,过Ai(i∈N,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x=i, 因为Bi(10,i),所以直线OBi的方程为y=

x,

*

都在同一条抛物线上,并求抛物线E

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设Pi坐标为(x,y),由得:

y=x,即x=10y,

*

2

22

所以Pi(i∈N,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x=10y.

8.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方程. 【解析】设抛物线的方程为y2

=2px(p>0), 则其准线为x=-. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 因为|AF|+|BF|=8, 所以x1++x2+=8, 即x1+x2=8-p.

因为Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上, 所以|QA|=|QB|, 即=

,

又

=2px1,

=2px2,

所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0, 因为AB与x轴不垂直,所以x1≠x2. 故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即p=4. 从而抛物线的方程为y2

=8x.

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