2014-2015学年高中数学 2.4.1抛物线及其标准方程课时作业 新人教A版选修2-1 (1)

抛物线及其标准方程

(30分钟 50分)

一、选择题(每小题3分,共18分)

1.(2014·长春高二检测)抛物线y=2x的焦点坐标是( ) A.(1,0)

B.

2

2

2

C. D.

【解析】选D.由y=2x,得x=y, 所以p=,故焦点坐标为

.

2

2.(2014·重庆高二检测)抛物线y=x的焦点到准线的距离为( ) A.

B.

2

C. D.1

【解析】选B.由抛物线的方程y=x, 故p=,所以焦点到准线的距离为.

【变式训练】(2014·太原高二检测)抛物线y=ax的准线方程是y=1,则a的值为

2

2

( )

A. B.-

2

C.4 D.-4

【解析】选B.由y=ax,得x=y, 故准线方程为y=-,所以-2

=1,得a=-.

2

3.(2013·四川高考)抛物线y=4x的焦点到双曲线x-=1的渐近线的距离是

( ) A.

B.

C.1

D.

【解题指南】先求得抛物线的焦点坐标,然后求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式进行求解即可.

【解析】选B.抛物线y=4x的焦点是(1,0),双曲线x-的距离公式可得d=

,故选B.

2

2

=1的一条渐近线方程为x-y=0,根据点到直线

- 1 -

【变式训练】(2013·四川高考)抛物线y=8x的焦点到直线x- A.2

C.

2

y=0的距离是

( )

B.2

2

D.1

=1,故选D.

【解析】选D.抛物线y=8x的焦点为(2,0),根据点到直线的距离公式可得d=4.在同一坐标系中,方程ax+by=1与ax+by=0(a>b>0)的曲线大致是( )

22

22

2

【解析】选D.ax+by=1,可化为

22

22

+=1,

因为a>b>0,所以故应选D.

<,其表示焦点在y轴上的椭圆;而ax+by=0可化为y=-x,其表示开口向左的抛物线,

22

5.(2014·肇庆高二检测)已知M是抛物线y=2px(p>0)上的点,若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为( ) A.1

B.1或4

C.1或5

D.4或5

2

【解析】选B.因为点M到对称轴的距离为4, 所以点M的坐标可设为(x,4)(或(x,-4)), 又因为M到准线的距离为5,

所以解得或

6.(2014·白山高二检测)当a为任意实数时,直线(2a+3)x+y-4a+2=0恒过定点P,则过点P的抛物线的标准方程是( ) A.x=32y或y=-x B.x=-32y或y=x C.y=32x或x=-y D.y=-32x或x=y

- 2 -

2

2

2

2

2

2

2

2

【解析】选C.把直线方程(2a+3)x+y-4a+2=0转化为(3x+y+2)+a(2x-4)=0,由

所以定点P的坐标为(2,-8),所以过点P的抛物线的标准方程是y=32x或x=-y. 二、填空题(每小题4分,共12分)

2

2

得

7.(2014·邯郸高二检测)在抛物线y=2px(p>0)上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值是 ___________.

【解析】由抛物线的定义知4+=5, 所以得p=2. 答案:2

8.(2014·陕西高考)抛物线y=4x的准线方程为 .

【解题指南】根据抛物线y=2px的准线方程为x=-可以得到所求准线方程. 【解析】根据抛物线的几何性质得抛物线y=4x的准线方程为x=-1. 答案:x=-1

9.(2012·陕西高考)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.

【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.

【解析】建立适当的直角坐标系,如图所示,设抛物线方程为x=-2py(p>0),则点(2,-2)在此抛物线上,代入可求出抛物线的方程是x=-2y,当y=-3时,x=-2×(-3)=6,所以x=±答案:2

,水面宽是2

米.

2

2

2

2

2

2

2

三、解答题(每小题10分,共20分) 10.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过(,

),求抛物线和双曲线的方程.

2

-=1的左焦点,而且与x轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点

【解析】设抛物线方程为:y=2px(p>0),将点(,)代入方程得p=2,所以抛物线方程为y=4x.准线方程

)到两焦点距离之差为2a=1,所以双

2

为x=-1,由此知道双曲线方程中:c=1;焦点为(-1,0),(1,0),点(,

- 3 -

曲线的方程为-=1.

2

11.(2014·兰州高二检测)设抛物线C:x=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A∈C,已知以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点.若∠BFD=90°,△ABD的面积为4

,求p的值及圆F的方程.

【解析】因为以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点, 所以△BFD为等腰直角三角形,故斜边|BD|=2p, 又点A到准线l的距离d=|FA|=|FB|=所以S△ABD=4所以p=2.

所以圆F的圆心为(0,1),半径r=|FA|=2圆F的方程为x+(y-1)=8.

2

2

p, p,

=|BD|×d=×2p×

,

(30分钟 50分)

一、选择题(每小题4分,共16分)

1.点P到点F(4,0)的距离比它到直线l:x=-6的距离小2,则点P的轨迹方程为

2

2

x

( )

A.y=x C.y=16x

2

B.y=

2

D.y=4x

【解析】选C.依题意,点P到点F(4,0)的距离等于点P到x=-4的距离,故P点的轨迹是以F(4,0)为焦点,x=-4为准线的抛物线,且=4,焦点在x轴的正半轴上,所以方程为y=16x.

2.(2014·长春高二检测)已知F是抛物线y=8x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=12,则线段AB中点到y轴的距离为( ) A.16

B.6

C.8

D.4

2

2

【解析】选D.设A,B到准线的距离为d1,d2,则由抛物线的定义得,d1+d2=12,所以线段AB中点到准线的距离为6,所以线段AB中点到y轴的距离为6-2=4. 3.(2013·天津高考)已知双曲线

-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y=2px(p>0)的准线分别交于

2

A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,

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