十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题04 导数与定积分 含解析

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(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a; (2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)=[ax-(4a+1)x+4a+3]e,

所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]e+[ax-(4a+1)x+4a+3]e(x∈R)=[ax-(2a+1)x+2]e. f'(1)=(1-a)e.

由题设知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1. 此时f(1)=3e≠0, 所以a的值为1.

(2)由(1)得f'(x)=[ax-(2a+1)x+2]e=(ax-1)(x-2)e.

2

x

x

x

2

x

2

x

2

x

若a>,则当x∈时,f'(x)<0;

当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0. 所以f(x)在x=2处取得极小值.

若a≤,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤x-1<0, 所以f'(x)>0.

所以2不是f(x)的极小值点.

综上可知,a的取值范围是.

61.(2018·江苏·T19)记f'(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0),且f'(x0)=g'(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”. (1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x+2x-2不存在“S点”;

(2)若函数f(x)=ax-1与g(x)=ln x存在“S点”,求实数a的值;

2

2

(3)已知函数f(x)=-x+a,g(x)=“S点”,并说明理由.

2

.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在

【解析】(1)证明函数f(x)=x,g(x)=x+2x-2, 则f'(x)=1,g'(x)=2x+2. 由f(x)=g(x),且f'(x)=g'(x),

2

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得此方程组无解,

因此,f(x)与g(x)不存在“S点”. (2)解函数f(x)=ax2

-1,g(x)=ln x,

则f'(x)=2ax,g'(x)=.

设x0为f(x)与g(x)的“S点”,由f(x0)=g(x0),且f'(x0)=g'(x0),

得(*)

得ln x0=-,即x0=,则a=.

当a=时,x0=满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S点”.

因此,a的值为.

(3)解对任意a>0,设h(x)=x3

-3x2

-ax+a.

因为h(0)=a>0,h(1)=1-3-a+a=-2<0,且h(x)的图象是不间断的, 所以存在x0∈(0,1),使得h(x0)=0.

令b=,则b>0.

函数f(x)=-x2

+a,g(x)=

,则f'(x)=-2x,g'(x)=.

由f(x)=g(x),且f'(x)=g'(x),

得

即

(**)

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此时,x0满足方程组(**),即x0是函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个“S点”. 因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.

62.(2018·全国1·理T21)已知函数f(x)=-x+aln x. (1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:

【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=--1+=-.

①若a≤2,则f'(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f'(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减.

②若a>2,令f'(x)=0得,x=或x=.

当x∈时,f'(x)<0;

当x∈时,f'(x)>0.所以f(x)在单调递减,在

单调递增.

(2)由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.

由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.

2

由于=--1+a

=-2+a=-2+a,

所以

设函数g(x)=-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+∞)单调递减,又g(1)=0,从而当x∈(1,+∞)时,g(x)<0.

所以-x2+2ln x2<0,即

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63.(2018·全国1·文T21)已知函数f(x)=ae-ln x-1. (1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间; (2)证明:当a≥ 时,f(x)≥0.

x

【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ae-.

x

由题设知,f'(2)=0,所以a=.

从而f(x)=e-ln x-1,f'(x)=

x

e-.

x

当02时,f'(x)>0. 所以f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.

(2)当a≥时,f(x)≥-ln x-1.

设g(x)=-ln x-1,则g'(x)=.

当01时,g'(x)>0. 所以x=1是g(x)的最小值点. 故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.

因此,当a≥时,f(x)≥0.

64.(2018·全国3·理T21)已知函数f(x)=(2+x+ax)ln(1+x)-2x. (1)若a=0,证明:当-10时,f(x)>0; (2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.

2

【解析】(1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f'(x)=ln(1+x)-,

设函数g(x)=f'(x)=ln(1+x)-,则g'(x)=,

当-10时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0. 所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.

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