十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题04 导数与定积分 含解析

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(3)因为a=0,c=1,

所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3

-(b+1)x2

+bx,f'(x)=3x2

-2(b+1)x+b. 因为0

所以Δ=4(b+1)2

-12b=(2b-1)2+3>0, 则f'(x)有2个不同的零点, 设为x1,x2(x1

由f'(x)=0,得x1=,x2=.

列表如下

x (-∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ (解法一)

M=f(x1)=-(b+1)+bx1=[3-2(b+1)x1+b]x1+

=)3

=)3

≤.

因此M≤. (解法二)

因为0

当x∈(0,1)时,f(x)=x(x-b)(x-1)≤x(x-1)2

. 令g(x)=x(x-1)2

,x∈(0,1),

则g'(x)=3(x-1).

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令g'(x)=0,得x=. 列表如下:

x g'(x) g(x) + ↗ 0 极大值 - ↘ 所以当x=时,g(x)取得极大值,且是最大值,故g(x)max=g.

所以当x∈(0,1)时,f(x)≤g(x)≤.

因此M≤.

50.(2019·全国3·理T20)已知函数f(x)=2x-ax+b. (1)讨论f(x)的单调性;

(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.

【解析】(1)f'(x)=6x-2ax=2x(3x-a).

2

3

2

令f'(x)=0,得x=0或x=.

若a>0,则当x∈(-∞,0)∪时,f'(x)>0;

当x∈时,f'(x)<0.

故f(x)在(-∞,0),单调递增,在单调递减;

若a=0,f(x)在(-∞,+∞)单调递增;

若a<0,则当x∈∪(0,+∞)时,f'(x)>0;

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当x∈时,f'(x)<0.

故f(x)在,(0,+∞)单调递增,在单调递减.

(2)满足题设条件的a,b存在.

(ⅰ)当a≤0时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递增,所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.

(ⅱ)当a≥3时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递减,所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.

(ⅲ)当0

若-+b=-1,b=1,则a=3,与0

若-+b=-1,2-a+b=1,则a=3或a=-3或a=0,与0

综上,当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时,f(x)在[0,1]的最小值为-1,最大值为1. 51.(2019·天津·理T20)设函数f(x)=ecos x,g(x)为f(x)的导函数. (1)求f(x)的单调区间; (2)当x∈

时,证明f(x)+g(x)

-x≥0;

x

(3)设xn为函数u(x)=f(x)-1在区间2nπ+,2nπ+

x

内的零点,其中n∈N,证明2nπ+-xn<.

【解析】(1)由已知,有f'(x)=e(cos x-sin x).因此,当x∈2kπ+,2kπ+得f'(x)<0,则f(x)单调递减; 当x∈2kπ-,2kπ+

(k∈Z)时,有sin x>cos x,

(k∈Z)时,有sin x0,则f(x)单调递增.

(k∈Z),f(x)的单调递减区间为2kπ+,2kπ+

(k∈Z).

所以,f(x)的单调递增区间为2kπ-,2kπ+(2)证明记h(x)=f(x)+g(x)

-x.

依题意及(1),有g(x)=ex(cos x-sin x),从而g'(x)=-2exsin x.

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当x∈时,g'(x)<0,

-x+g(x)(-1)=g'(x)

-x<0.

=f

=0.

故h'(x)=f'(x)+g'(x)因此,h(x)在区间所以,当x∈

上单调递减,进而h(x)≥h时,f(x)+g(x)

-x≥0.

(3)证明依题意,u(xn)=f(xn)-1=0,即(xn-2nπ)=e

-2nπ

cos xn=1.记yn=xn-2nπ,则yn∈,且f(yn)=cos yn=cos

(n∈N).

由f(yn)=e-2nπ≤1=f(y0)及(1),得yn≥y0. 由(2)知,当x∈因此g(yn)≤g(y0)

时,g'(x)<0,所以g(x)在=0. -yn≥0,

上为减函数,

故-yn≤-=-≤-.

所以,2nπ+-xn<.

52.(2019·全国1·理T20)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f'(x)为f(x)的导数.证明:

(1)f'(x)在区间存在唯一极大值点;

(2)f(x)有且仅有2个零点. 【解析】(1)设g(x)=f'(x),

则g(x)=cos x-,g'(x)=-sin x+.

当x∈时,g'(x)单调递减,

而g'(0)>0,g'<0,

可得g'(x)在区间

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内有唯一零点,设为α.

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