十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题04 导数与定积分 含解析

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于是m=-+2,M=

所以M-m=

当0

所以M-m的取值范围是.

当2≤a<3时,单调递增,所以M-m的取值范围是.

综上,M-m的取值范围是.

47.(2019·浙江·T22)已知实数a≠0,设函数f(x)=aln x+

,x>0.

(1)当a=-时,求函数f(x)的单调区间; (2)对任意x∈

,+∞均有f(x)≤,求a的取值范围.

注:e=2.718 28…为自然对数的底数.

【解析】(1)当a=-时,f(x)=-ln x+,x>0.

f'(x)=-

=,

所以,函数f(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+∞).

(2)由f(1)≤,得0

当0

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令t=,则t≥2设g(t)=tg(t)=①当x∈

2

.

-2ln x,t≥2

2

-2t

-

,则

t--2ln x. ≤2

,则

,+∞时,

g(t)≥g(2)=8-4-2ln x.

记p(x)=4-2-ln x,x≥,则

p'(x)=

=

=故 x p'(x) p(x) p .

,1 - 单调递减 1 0 极小值p(1) (1,+∞) + 单调递增 所以,p(x)≥(1)=0. 因此,g(t)≥g(2②当x∈g(t)≥g令q(x)=2

)=2p(x)≥0.

时, =

ln x+(x+1),x∈

.

,则

q'(x)=+1>0,

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故q(x)在上单调递增, 所以q(x)≤q. 由①得,q

=-

p

<-p(1)=0.

所以,q(x)<0. 因此,g(t)≥g=->0.

由①②知对任意x∈,+∞,t∈[2

,+∞),g(t)≥0,

即对任意x∈

,+∞,均有f(x)≤.

综上所述,所求a的取值范围是0,

.

48.(2019·全国2,文21,12分,难度)已知函数f(x)=(x-1)ln x-x-1.证明: (1)f(x)存在唯一的极值点;

(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞).

f'(x)=+ln x-1=ln x-.

因为y=ln x单调递增,y=单调递减,所以f'(x)单调递增.

又f'(1)=-1<0,f'(2)=ln 2->0,故存在唯一x0∈(1,2),使得f'(x0)=0.

又当xx0时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 因此,f(x)存在唯一的极值点.

(2)由(1)知f(x0)

)=e2

-3>0, 所以f(x)=0在区间(x0,+∞)内存在唯一根x=α.

由α>x0>1得<1

又f（=（-1）ln -1==0,

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故是f(x)=0在(0,x0)的唯一根.

综上,f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.

49.(2019·江苏,19,16分,难度)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f'(x)为f(x)的导函数. (1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;

(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f'(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的极小值;

(3)若a=0,0

所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3

. 因为f(4)=8,

所以(4-a)3

=8,解得a=2. (2)因为b=c,

所以f(x)=(x-a)(x-b)2

=x3

-(a+2b)x2

+b(2a+b)x-ab2

,

从而f'(x)=3(x-b).

令f'(x)=0,得x=b或x=.

因为a,b,都在集合{-3,1,3}中,且a≠b,

所以=1,a=3,b=-3.

此时,f(x)=(x-3)(x+3)2

,f'(x)=3(x+3)(x-1). 令f'(x)=0,得x=-3或x=1. 列表如下:

x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)(1+3)2

=-32.

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