十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题04 导数与定积分 含解析

名师精心整理 助您一臂之力

=e·3

x-x

<0,

∴g(x)在R上单调递减,不具有M性质;

对③,设g(x)=e·x,则g'(x)=e·x(x+3),令g'(x)=0,得x1=-3,x2=0, ∴g(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,+∞)上单调递增,不具有M性质; 对④,设g(x)=e(x+2),则g'(x)=e(x+2x+2),∵x+2x+2=(x+1)+1>0, ∴g'(x)>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填①④.

x

2

x

2

2

2

x

3

x

2

36.(2017·江苏·T11)已知函数f(x)=x-2x+e-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a)≤0,则实数a的取值范围是 .

3x2

【答案】

【解析】因为

2

x

-x

2

f(-x)=(-x)-2(-x)+e-

3-x

=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为

f'(x)=3x-2+e+e≥3x-2+2≥0(当且仅当x=0时等号成立),所以f(x)在R上单调递增,因为

f(a-1)+f(2a)≤0可化为f(2a)≤-f(a-1),即f(2a)≤f(1-a),所以2a≤1-a,2a+a-1≤0,解得-1≤a≤,

22222

故实数a的取值范围是.

37.(2016·全国2·理T16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= . 【答案】1-ln 2

【解析】设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2和y=ln(x+1)的切点分别为(x1,kx1+b),(x2,kx2+b),由导数的几何意

义,可得k=,得x1=x2+1.

又切点也在各自曲线上,所以

所以

从而由kx1+b=ln x1+2,代入解得b=1-ln 2.

名师精心整理 助您一臂之力

13

名师精心整理 助您一臂之力

38.(2015·全国1·文T14)已知函数f(x)=ax+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= . 【答案】1

【解析】∵f'(x)=3ax+1,∴f'(1)=3a+1, 即切线斜率k=3a+1.

又f(1)=a+2,∴已知点为(1,a+2).

2

3

而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为=5-a,∴5-a=3a+1,解得a=1.

2

39.(2015·全国2·文T16)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax+(a+2)x+1相切,则a= . 【答案】8

【解析】∵y'=1+,∴k=y'|x=1=2, ∴切线方程为y=2x-1.

由y=2x-1与y=ax+(a+2)x+1联立,得ax+ax+2=0,再由相切知Δ=a-8a=0,解得a=0或a=8. ∵当a=0时,y=ax+(a+2)x+1并非曲线而是直线,∴a=0舍去,故a=8.

22

2

2

40.(2015·陕西·理T15)设曲线y=e在点(0,1)处的切线与曲线y= (x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为 . 【答案】(1,1)

x

【解析】曲线y=e在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e|x=0=1;由y=,可得y'=-,因为曲线y=(x>0)在点P处的

xx

切线与曲线y=e在点(0,1)处的切线垂直,故-=-1,解得xP=1,由y=,得yP=1,故所求点P的坐标为(1,1). 41.(2015·天津,理11)曲线y=x与直线y=x所围成的封闭图形的面积为______________.

2

x

2

【解析】函数y=x与y=x的图象所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S.

由

名师精心整理 助您一臂之力 14

名师精心整理 助您一臂之力

故所求面积S=(x-x)dx=

2

.

42.(2015·陕西·理T16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 . 【答案】1.2 【解析】

43.(2012·上海·理T13)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0),By=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________________.

,C(1,0).函数

【答案】

【解析】由题意f(x)=

则xf(x)=∴

xf(x)

与

x

轴

围

成

图

形

的

面

积

为

10xdx+

2

(-10x+10x)dx=x

23

.

44.(2012·全国·文T13)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 . 【答案】4x-y-3=0

【解析】因为y'=3ln x+4,故y'|x=1=4,所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x-1),化为一般式方程为4x-y-3=0.

45.(2012·山东·理T15)设a>0.若曲线y=

与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a,则a=.

2

名师精心整理 助您一臂之力 15

名师精心整理 助您一臂之力

【答案】

【解析】由题意可得曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积S=dx==a,解得

2

a=.

46.(2019·全国3·文T20)已知函数f(x)=2x-ax+2. (1)讨论f(x)的单调性;

(2)当0

2

3

2

令f'(x)=0,得x=0或x=.

若a>0,则当x∈(-∞,0)∪时,f'(x)>0;

当x∈时,f'(x)<0.

故f(x)在(-∞,0),单调递增,在单调递减;

若a=0,f(x)在(-∞,+∞)单调递增;

若a<0,则当x∈∪(0,+∞)时,f'(x)>0;

当x∈时,f'(x)<0.

故f(x)在,(0,+∞)单调递增,在单调递减.

(2)当0

f=-+2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.

名师精心整理 助您一臂之力 16