十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题04 导数与定积分 含解析

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故g(x)在单调递减,在单调递增,从而g(x)在(0,+∞)的最小值为g=-.

设函数h(x)=xe-,则h'(x)=e(1-x).

所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0.故h(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减,从而

-x-x

h(x)在(0,+∞)的最大值为h(1)=-. 综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.

103.(2013·全国2·理T21)已知函数f(x)=ex

-ln(x+m). (1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0.

【解析】(1)f'(x)=ex

-

.

由x=0是f(x)的极值点得f'(0)=0,所以m=1.

于是f(x)=ex-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f'(x)=ex

-

.

函数f'(x)=ex

-

在(-1,+∞)单调递增,且f'(0)=0.

因此当x∈(-1,0)时,f'(x)<0; 当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.

所以f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.

(2)当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时,f(x)>0.

当m=2时,函数f'(x)=ex

-在(-2,+∞)单调递增.

又f'(-1)<0,f'(0)>0,

故f'(x)=0在(-2,+∞)有唯一实根x0,且x0∈(-1,0). 当x∈(-2,x0)时,f'(x)<0;

当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,从而当x=x0时,f(x)取得最小值.

由f'(x0)=0得,ln(x0+2)=-x0,

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故f(x)≥f(x0)=+x0=>0.

综上,当m≤2时,f(x)>0.

104.(2013·全国2·文T21)已知函数f(x)=xe. (1)求f(x)的极小值和极大值;

(2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围. 【解析】(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f'(x)=-ex(x-2).①

当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f'(x)<0; 当x∈(0,2)时,f'(x)>0.

所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递减,在(0,2)单调递增. 故当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0; 当x=2时,f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e. (2)设切点为(t,f(t)),

则l的方程为y=f'(t)(x-t)+f(t).

-2

-x

2-x

所以l在x轴上的截距为m(t)=t-=t+=t-2++3.

由已知和①得t∈(-∞,0)∪(2,+∞).

令h(x)=x+(x≠0),则当x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[2当x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3).

,+∞);

所以当t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[2综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[2

+3,+∞).

+3,+∞).

105.(2013·重庆·文T20)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;

(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.

【解析】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr元,所以蓄水池的

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2

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总成本为(200πrh+160πr)元. 又据题意200πrh+160πr=12 000π,

2

2

所以h=(300-4r),

2

从而V(r)=πrh=(300r-4r). 因r>0,又由h>0可得r<5

, ).

23

故函数V(r)的定义域为(0,5

(2)因V(r)=(300r-4r),

3

故V'(r)=(300-12r).

令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因r2=-5不在定义域内,舍去). 当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数; 当r∈(5,5

)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5

)上为减函数.

2

由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8. 即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.

106.(2013·全国1·理T21)设函数f(x)=x+ax+b,g(x)=e(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2. (1)求a,b,c,d的值;

(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.

【解析】(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f'(0)=4,g'(0)=4. 而f'(x)=2x+a,g'(x)=e(cx+d+c), 故b=2,d=2,a=4,d+c=4. 从而a=4,b=2,c=2,d=2.

(2)由(1)知,f(x)=x+4x+2,g(x)=2e(x+1). 设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2ke(x+1)-x-4x-2, 则F'(x)=2ke(x+2)-2x-4=2(x+2)(ke-1). 由题设可得F(0)≥0,即k≥1.

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x

x

x

2

2

x

x

2

x

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令F'(x)=0得x1=-ln k,x2=-2.

①若1≤k0.即F(x)在(-2,x1)单调递减,在(x1,+∞)单调递增.故F(x)在[-2,+∞)的最小值为F(x1). 而F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0. 故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立. ②若k=e,则F'(x)=2e(x+2)(e-e).

从而当x>-2时,F'(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)单调递增. 而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立. ③若k>e,则F(-2)=-2ke+2=-2e(k-e)<0. 从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立. 综上,k的取值范围是[1,e].

107.(2013·全国1·文T20)已知函数f(x)=e(ax+b)-x-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4. (1)求a,b的值;

(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值. 【解析】(1)f'(x)=e(ax+a+b)-2x-4. 由已知得f(0)=4,f'(0)=4. 故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4. (2)由(1)知,f(x)=4e(x+1)-x-4x,

x

2

x

x

2

2

2

-2

-2

2

2

2

x

-2

2

f'(x)=4e(x+2)-2x-4=4(x+2)·令f'(x)=0得,x=-ln 2或x=-2.

x

.

从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f'(x)>0; 当x∈(-2,-ln 2)时,f'(x)<0.

故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减. 当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e).

-2

108.(2012·全国·理T21)已知函数f(x)满足f(x)=f'(1)e-f(0)x+x. (1)求f(x)的解析式及单调区间;

x-12

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