十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题04 导数与定积分 含解析

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因此函数有两个极值点. 当a<0时,Δ>0,

由g(-1)=1>0,可得x1<-1.

当x∈(-1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 所以函数有一个极值点.

综上所述,当a<0时,函数f(x)有一个极值点;

当0≤a≤时,函数f(x)无极值点;

当a>时,函数f(x)有两个极值点. (2)由(1)知,

①当0≤a≤时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 因为f(0)=0,

所以x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意;

②当

又f(0)=0,所以x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意; ③当a>1时,由g(0)<0,可得x2>0. 所以x∈(0,x2)时,函数f(x)单调递减;

因为f(0)=0,所以x∈(0,x2)时,f(x)<0,不合题意; ④当a<0时,设h(x)=x-ln(x+1).

因为x∈(0,+∞)时,h'(x)=1->0,

所以h(x)在(0,+∞)上单调递增. 因此当x∈(0,+∞)时,h(x)>h(0)=0, 即ln(x+1)

可得f(x)

-x)=ax2

+(1-a)x,

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当x>1-时,ax2

+(1-a)x<0, 此时f(x)<0,不合题意. 综上所述,a的取值范围是[0,1].

91.(2015·全国2·文T21)已知函数f(x)=ln x+a(1-x). (1)讨论f(x)的单调性;

(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.

【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a. 若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)单调递增.

若a>0,则当x∈时,f'(x)>0;

当x∈时,f'(x)<0.

所以f(x)在单调递增,在单调递减.

(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)无最大值;

当a>0时,f(x)在x=取得最大值,最大值为f=ln+a=-ln a+a-1.

因此f>2a-2等价于ln a+a-1<0.

令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+∞)单调递增,g(1)=0. 于是,当01时,g(a)>0.

因此,a的取值范围是(0,1).

92.(2015·全国2·理T21)设函数f(x)=emx

+x2

-mx. (1)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;

(2)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围. 【解析】(1)f'(x)=m(emx

-1)+2x.

若m≥0,则当x∈(-∞,0)时,emx

-1≤0,f'(x)<0;

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当x∈(0,+∞)时,emx

-1≥0,f'(x)>0. 若m<0,则当x∈(-∞,0)时,emx

-1>0,f'(x)<0; 当x∈(0,+∞)时,emx

-1<0,f'(x)>0.

所以,f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.

(2)由(1)知,对任意的m,f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值. 所以对于任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要条件是

即

①

设函数g(t)=et

-t-e+1,则g'(t)=et

-1. 当t<0时,g'(t)<0; 当t>0时,g'(t)>0.

故g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. 又g(1)=0,g(-1)=e-1

+2-e<0,故当t∈[-1,1]时,g(t)≤0. 当m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立; 当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即em

-m>e-1; 当m<-1时,g(-m)>0,即e-m

+m>e-1. 综上,m的取值范围是[-1,1].

93.(2015·全国1·文T21)设函数f(x)=e2x

-aln x. (1)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数;

(2)证明:当a>0时,f(x)≥2a+aln .

【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2e2x

-(x>0). 当a≤0时,f'(x)>0,f'(x)没有零点,

当a>0时,因为e2x

单调递增,-单调递增, 所以f'(x)在(0,+∞)单调递增.

又f'(a)>0,当b满足00时,f'(x)存在唯一零点.

(2)由(1),可设f'(x)在(0,+∞)的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0.

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故f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0,+∞)单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).

由于2=0,

所以f(x0)=+2ax0+aln≥2a+aln.

故当a>0时,f(x)≥2a+aln.

94.(2015·天津·理T20)已知函数f(x)=nx-x,x∈R,其中n∈N,且n≥2. (1)讨论f(x)的单调性;

(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x);

n

*

(3)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证:|x2-x1|<

n

n-1

n-1

*

+2.

【解析】(1)解由f(x)=nx-x,可得f'(x)=n-nx=n(1-x),其中n∈N,且n≥2.下面分两种情况讨论: ①当n为奇数时,

令f'(x)=0,解得x=1,或x=-1.

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

x f'(x) f(x) (-∞,-1) - ↘ (-1,1) + ↗ (1,+∞) - ↘ 所以,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)内单调递增. ②当n为偶数时,

当f'(x)>0,即x<1时,函数f(x)单调递增; 当f'(x)<0,即x>1时,函数f(x)单调递减.

所以,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.

(2)证明设点P的坐标为(x0,0),则x0=,f'(x0)=n-n.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f'(x0)(x-x0),

2

即g(x)=f'(x0)(x-x0).令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0),则F'(x)=f'(x)-f'(x0).

由于f'(x)=-nx+n在(0,+∞)上单调递减,故F'(x)在(0,+∞)上单调递减.又因为F'(x0)=0,所以当x∈(0,x0)

n-1

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