十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题04 导数与定积分 含解析

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又f(0)=0,故当-10时,f(x)>0.

(2)①若a≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.

②若a<0,设函数h(x)==ln(1+x)-.

由于当|x|

>0,故h(x)与f(x)符号相同.

又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.

h'(x)=.

如果6a+1>0,则当00,故x=0不是h(x)的极大值点.

如果6a+1<0,则a2x2

+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当x∈(x1,0),且|x|

所以x=0不是h(x)的极大值点.

如果6a+1=0,则h'(x)=.则当x∈(-1,0)时,h'(x)>0;当x∈(0,1)时,h'(x)<0.

所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.

综上,a=-.

65.(2018·全国3,文21,12分,难度)已知函数f(x)=.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程; (2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.

【解析】(1)f'(x)=,f'(0)=2.

因此曲线y=f(x)在(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0. (2)当a≥1时,f(x)+e≥(x2

+x-1+ex+1

)e-x

. 令g(x)=x2

+x-1+ex+1

,则g'(x)=2x+1+ex+1

.

当x<-1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>-1时,g'(x)>0,g(x)单调递增;所以g(x)≥g(-1)=0. 因此f(x)+e≥0.

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66.(2018·浙江·T22)已知函数f(x)=-ln x.

(1)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8-8ln 2;

(2)若a≤3-4ln 2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.

【解析】(1)函数f(x)的导函数f'(x)=,

由f'(x1)=f'(x2),得,

因为x1≠x2,所以.

由基本不等式,得

≥2,

因为x1≠x2,所以x1x2>256.

由题意得f(x1)+f(x2)=-ln x1+-ln x2=-ln(x1x2).

设g(x)=-ln x,

则g'(x)=-4),

所以

x (0,16) 16 (16,+∞) g'(x) - 0 + g(x) ↘ 2-4ln 2 ↗ 所以g(x)在[256,+∞)上单调递增,故g(x1x2)>g(256)=8-8ln 2, 即f(x1)+f(x2)>8-8ln 2.

(2)令m=e

-(|a|+k)

,n=+1,则

f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0,

f(n)-kn-a

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所以,存在x0∈(m,n),使f(x0)=kx0+a.

所以,对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.

由f(x)=kx+a,得k=.

设h(x)=,则h'(x)=.

其中g(x)=-ln x. 由(1)可知g(x)≥g(16).

又a≤3-4ln 2,故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln 2+a≤0, 所以h'(x)≤0,

即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减. 因此方程f(x)-kx-a=0至多1个实根.

综上,当a≤3-4ln 2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.

67.(2018·江苏·T17)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.

(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围;

(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

【解析】(1)连接PO并延长交MN于点H,则PH⊥MN,所以OH=10. 过点O作OE⊥BC于点E,则OE∥MN, 所以∠COE=θ,

故OE=40cos θ,EC=40sin θ,

则矩形ABCD的面积为2×40cos θ(40sin θ+10)=800(4sin θcos

θ+cos

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θ),

△CDP的面积为×2×40cos θ(40-40sin θ)=1 600(cos θ-sin θcos θ). 过点N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于点G和K,则GK=KN=10.

令∠GOK=θ0,则sin θ0=,θ0∈.

当θ∈时,才能作出满足条件的矩形ABCD,

所以sin θ的取值范围是.

答:矩形ABCD的面积为800(4sin θcos θ+cos θ)平方米,△CDP的面积为1 600(cos θ-sin θcos θ)

平方米,sin θ的取值范围是.

(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,

设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),

则年总产值为4k×800(4sin θcos θ+cos θ)+3k×1 600(cos θ-sin θcos θ)=8 000k(sin θcos θ+cos

θ),θ∈.

设f(θ)=sin θcos θ+cos θ,θ∈

2

2

2

,

则f'(θ)=cosθ-sinθ-sin θ=-(2sinθ+sin θ-1)=-(2sin θ-1)(sin θ+1).

令f'(θ)=0,得θ=,

当θ∈时,f'(θ)>0,所以f(θ)为增函数;

当θ∈时,f'(θ)<0,所以f(θ)为减函数,

因此,当θ=时,f(θ)取到最大值.

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