高考数学玩转压轴题专题2.3平面向量中范围、最值等综合问题

3、【2018湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟】已知OA?1,OB?3,OA?OB?0，点C在?AOB内，

uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvm且OC与OA的夹角为300，设OC?mOA?nOB?m,n?R?，则的值为（ ）

n5A. 2 B. C. 3 D. 4

2【答案】C

【解析】

uuuvuuuv如图所示，建立直角坐标系．由已知OA?1,OB?3,，

uuuruuuruuuruuuruuur（，10），OB?（0，3），?OC?mOA?nOB?（m，3n），，则OA? ?tan30??故选B

类型六 平面向量与三角形四心的结合【例6】【2018全国名校大联考】已知?ABC的三边垂直平分线交于点O，

3n3m?， ??3． m3nuuuvuuuva,b,c分别为内角A,B,C的对边，且c?2b?2?b?，则AO?BC的取值范围是__________．

2【答案】???2?,2? ?3?

【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 【举一反三】

1、【【2018河北武邑中学调研】在?ABC中， AB?3， AC?5，若O为?ABC外接圆的圆心（即满足

uuuvuuuvBC的值为__________. ，则AO·OA?OB?OC）

【答案】8

uuuvuuuv【解析】设BC的中点为D，连结OD,AD，则OD?BC，则： uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvAO?BC?AD?DO?BC?AD?BC?vuuuvuuuvuuuv1uuu??AB?AC??AC?AB?2v2uuuv21uuu?AC?AB21?52?32?8.2???的外心，

为钝角，是边

的中点，则

2、【2018江西南昌市第二中学模拟】如图，为

的值为（ ）

??

A. 4 B. C. D. 【答案】B

3、【河南省洛阳市2018届高三上学期尖子生第一次联考】已知点O是锐角三角形ABC的外心，若

uuuvuuuvuuuvOC?mOA?nOB（m， n?R），则（ ）

A. m?n??2 B. ?2?m?n??1 C. m?n??1 D. ?1?m?n?0 【答案】C

【解析】∵O是锐角△ABC的外心，

∴O在三角形内部，不妨设锐角△ABC的外接圆的半径为1，

uuuvuuuvuuuv又OC?mOA?nOB，

∴|OC|=| mOA?nOB|，

22可得OC=mOA+nOB+2mnOA?OB，

uuuvuuuvuuuvuuuv2uuuv2uuuv2uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv而OA?OB=|OA|?|OB|cos∠A0B<|OA|?|OB|=1. uuuvuuuv∴1=m+n+2mnOA?OB

22∴m?n 1，如果m?n >1则O在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m?n

三．强化训练

uuuvuuuvuuuv21．【2018湖南五市十校联考】在?ABC中， AB?3AC?9， AC?AB?AC，点P是?ABC所在平面内一

点，则当PA?PB?PC取得最小值时， PA?BC?（ ） A. ?24 B. 62 C. 【答案】D

uuuv2uuuv2uuuv2uuuvuuuv9 D. 24 2uuuvuuuv?2. 【2018山西芮城中学模拟】长度都为2的向量OA， OB的夹角为，点C在以O为圆心的圆弧AB（劣弧）

3uuuvuuuvuuuv上， OC?mOA?nOB，则m?n的最大值是（ ）

A. 23 B. 【答案】B

23 C. 3 D. 33 3uuuruuuruuuruuur2uuuruuur2

【解析】∵OC=mOA+nOB，∴OC=（mOA+nOB），

uuuvuuuv?∴4?4m?4n?2mn?OA?OB，即4?4m2?4n2?2mn?2?2?cos，

322即m+n+mn=1，故?m?n??1?mn?2

2

2?m?n?422，（当且仅当m=n时，等号成立）；故（m?n）?4，故m?n的3

最大值为42323?，故答案为： ． 333

3. 【辽宁沈阳交联体联考】如图，在扇形OAB中， ?AOB?300， C为弧AB上且与A,B不重合的一个动

点，且uOCuuv?xOAuuuv?yOBuuuv，若??x??y（??0）存在最大值，则?的取值范围是（

A. ??33??33??33????323??4,3? B. ????3,2?? C. ???

?4,2?? D. ????2,3???【答案】D

）